Equazioni di Maxwell in forma quantistica

Consideriamo ora invece le equazioni di Maxwell nel vuoto e lavoriamo in unita' naturali:

Poiché non ha senso scriverle come un'equazione d'onda nello spazio delle ,[1] passiamo nello spazio delle tramite la trasformata di Fourier:
che sostituite nelle equazioni di Maxwell forniscono:

Bisogna ora naturalmente garantire che e .[2] Siccome vale:

deve quindi risultare:
che rappresentano sei condizioni.

Siccome:[3]

si deduce senz'altro che:[4]

Per svincolarsi ora dalla condizione di realtà si fa la posizione:

dove è una costante di normalizzazione che sarà calcolata fra breve. Questa relazione implica a sua volta:

Si consideri ora l'equazione di Maxwell:

sotituendo in questa l'espressione per trovata sopra si trova:
ovvero formalmente:

Essendo ora:

si può sostituire questo risultato nella precedente ottenendo:
ovvero:

Dalle rimanenti equazioni si ricava invece:

che implicano:
ovvero:

Combinando ora le due relazioni di sopra si ricava la seguente:

che scritta per componenti fornisce:

Consideriamo ora il prodotto scalare di questa con le :

ma:
e dunque e' soluzione di . In altre parole, imposto il valore all'inizio, questo si conserva nel tempo.

Le equazioni di Maxwell si riducono quindi in definitiva a:

che di fatto è un'equazione di tipo Schrodinger con come operatore.

  1. Il fotone e' a massa nulla e viaggia sempre a velocita', di conseguenza lo spazio delle , le posizioni, non ha senso per esso.
  2. Richiesta necessaria per garantire che i campi siano reali.
  3. Si sfrutta qui la relazione del doppio prodotto vettore .
  4. I vettori , e sono perpendicolari fra loro.
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