Invarianza per trasformazioni

consideriamo ora l'equazione di Dirac:

La richiesta di covarianza per trasformazioni di Lorentz implica la ricerca di un operatore tale che in modo da soddisfare ancora la stessa equazione. Di conseguenza, questo equivale a cercare una matrice che soddisfi la trasformazione , e quindi che soddisfi anche le:
e cioé, in definitiva, che rispetti:

Riscriviamo quindi l'equazione di Dirac in termini di e :

dove abbiamo fatto la posizione:

L'equazione di Dirac può essere espressa in questi termini:

che moltiplicata a sinistra per fornisce:
ricordando che vale la relazione:
l'equazione di sopra diventa:
la trasformazione rimane quindi invariata l'equazione di Dirac se risulta verificata la relazione:
siccome la matrice commuta con in quanto agiscono su spazi diversi, mandiamo in e moltiplichiamo poi per :

Passiamo ora a considerare trasformazioni infinitesime:

dove le sono 4 matrici antisimmetriche. Sostituiamo queste nella condizione su di sopra e ricordando che gli indici muti possono essere rinominati:
che permette di ricavare la relazione per le matrici :
e quindi le rotazioni infinitesime sono espresse da:

Consideriamo ora la parte spaziale del generatore delle rotazioni:

ora, ricordando anche che vale :
dove con abbiamo indicato , una sorta di matrice in 4 dimensioni. La parte spaziale risulta in definitiva:
che è una matrice simile a quelle di rotazione della per particelle con spin. La parte temporale fornisce:
ma risulta legata alla velocita', quindi le componenti temporali delle rotazioni infinitesime corrispondono alle trasformazioni di Lorentz propriamente dette.

Consideriamo ora l'equazione di Dirac scritta per le componenti . L'equazione si scrive in questo caso:

siccome , l'equazione di sopra si può riscrivere come:
dove la quantità rappresenta in sostanza la con le ultime due componenti cambiate di segno. Definendo , l'equazione assume la forma:
Ne consegue che quello che deve avere senso fisico è la quantità e non la semplice .Infatti, come abbiamo appena visto, è la quantità sulla quale l'equazione di Dirac conserva la sua forma, ovvero risulta covariante. La densità di corrente per la si può ricavare a partire dall'equazione scritta per la , dove definendo e :
Ma la densità di corrente e di probabilità possono essere scritte anche come:
ne consegue quindi che il quadrivettore soddisfa anch'esso l'equazione di continuità:

Siamo ora pronti per vedere come trasforma la quantità e quindi il quadrivettore corrente :

ma:
siccome è dimostrabile che , la precedente è riscrivibile nella forma:
Il termine della corrente di probabilità assume allora la forma:
Ma è la relazione che definisce e quindi il termine appena scritto equivale a . La legge di trasformazione diventa pertanto:
ed in definitiva:
ovvero trasforma esattamente come un quadrivettore.

L'insieme delle matrici combinazioni di , e aventi proprieta' definite di trasformazione (di Lorentz) sono 16, si indicano complessivamente con e sono denominate covarianti bilineari. Quelle riportate nella tabella seguente sono le uniche possibili, in quanto tutte le altre combinazioni di matrici si riducono a queste sfruttando le proprietà di queste matrici.

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