Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica

Iniziamo per semplicità con il considerare una particella a impulso nullo. L'equazione in forma operatoriale diventa quindi:

che può essere integrata componente per componente. In quattro dimensioni -- come è il caso presente -- una base di vettori è fornita banalmente da:
ricordando che , si ritrovano per soluzione i ben noti esponenziali:
ai quali risultano ora affiancate altre due soluzioni che devono essere prese in considerazione:
Le prime due soluzioni rappresentano l'evoluzione temporale di un'onda a due componenti: sono le funzioni rappresentanti lo "spin semintero". Le seconde soluzioni sono invece la descrizione di particelle ad energia negativa, che la teoria interpreta come "antiparticelle". La semplificatzione fatta di trascurare il termine dell'impulso corrisponde in realtà al limite non relativistico, in cui il termine predominante è proprio .

Introduciamo ora nella equazione di Dirac l'interazione elettromagnetica, operando la sostituzione . L'equazione in forma operatoriale si trasforma allora nella seguente:

Ne segue che l'Hamiltoniana di questo sistema si può scrivere nella forma , dove rappresenta l'Hamiltoniana di interazione con il campo elettromagnetico:
e dove , come già detto, assume il ruolo della velocità. Questo permette di riscrivere il teorema di Ehrenfest come:

Le conclusioni precedenti sulle soluzioni dell'equazione di Dirac ci autorizzano a scrivere la funzione d'onda in termini di un bispinore:

Un bispinore è quindi un particolare vettore che può essere pensato composto di due parti (e ), in cui ogni parte contiene le due componenti dello spin. Scriviamo quindi l'equazione di Dirac comprendente l'interazione elettromagnetica nel formalismo dei bispinori:

dove e si e' tenuto presente che:
Nel limite non relativistico il termine predominante e' ovviamente . Ricerchiamo ora le soluzioni per la particella libera nella forma:
e sostituendo questa forma nell'equazione ai bispinori scritta sopra:
ovvero, eliminando il fattore esponenziale in comune ai due e mai nullo:

Nel limite non relativistico predominano chiaramente i termini in e . Separando quindi l'equazione per le componenti alte e basse, nel limite non relativistico otteniamo:

Le componenti alte restituiscono quindi in questo caso ("classico") e questo e' corretto: a energie sufficientemente basse non ci sono componenti legate alle antiparticelle. Le componenti basse ci permettono invece di giungere alla relazione:

Questa relazione permette di identificare le componenti basse come le componenti "piccole" in rapporto alle componenti alte . Queste componenti sono infatti ridotte di un fattore nel limite non relativistico rispetto alle . Sostituendo la forma delle nelle componenti alte dell'equazione ai bispinori scritta sopra si ricava:

siccome vale:[1]
l'equazione per le componenti alte (particelle) nel caso non relativistico diventa quindi (Equazione di Pauli per particelle con spin):

Ritrovare questa equazione significa che l'equazione di Dirac è effettivamente un buon punto di partenza per costruire una teoria quantistica relativistica. Infatti, le due componenti alte sono sufficienti per i due gradi di libertà associati allo spin 1/2 di una particella libera, ritrovando anche il corretto momento magnetico dell'elettrone corrispondente al rapporto giromagnetico g=2. Infatti, tenendo presente che e prendendo solo i termini al primo ordine nel campo magnetico :

dalle proprietà del prodotto misto si sa che: , per cui denotando con l'operatore di spin l'equazione di Pauli assume la forma:
dove il coefficiente di interazione dello spin con il campo magnetico e' appunto g=2.

  1. Vale la relazione per il prodotto scalare: e . Il prodotto vettoriale esplicito fornisce:
    I primi due termini scompaiono (si tratta in effetti di un prodotto vettore per se' stesso), per gli altri due termini vale ricordando che e sono operatori:
    il termine e' nullo in quanto la parentesi e' simmetrica in e e e' antisimmetrico, resta quindi il termine e esplicitando gli operatori:
Successivo