Quantizzazione del campo elettromagnetico

Si consideri il campo elettromagnetico in assenza di sorgenti. Esso soddisfa l'equazione . Data l'arbitrarieta' della scelta dei potenziali, si consideri la gauge di Lorents in cui e di conseguenza il campo elettromagnetico è descritto solo dal potenziale vettore che verifica le equazioni:

Si osservi subito che:
per cui se vale la relazione:
una soluzione della prima delle equazioni dsul potenziale vettore è proprio , dove è il versore indipendente dalla direzione di polarizzazione. Siccome poi vale anche:
si ha che questa relazione soddisfa anche la seconda equazione sul potenziale vettore se vale , ovvero se le onde elettromagnetiche sono trasverse. In uno spazio tridimensionale i vettori ortogonali ad uno dato sono solo due, per cui è più esplicito sostituire a , dove l'indice può assumere solo due valori in corrispondenza delle due possibili polarizzazioni. Per questo, e siccome la prima è lineare omogenea, la sua soluzione generale reale si scrive:
dove sono dei coefficienti da determinare in base alle condizioni al contorno.[1] Il fattore e' un conveniente fattore di normalizzazione, essendo il volume di spazio in cui si sta considerando il campo elettromagnetico. Introduciamo le variabili dinamiche:
e le loro complesse coniugate. In questo modo, la soluzione generale di sopra si scrive in maniera più concisa:
Dalle relazioni () per si possono poi ricavare i campi elettrico e magnetico:

Si vuole ora calcolare esplicitamente l'Hamiltoniana del campo elettromagnetico che, come è noto, è data da:

e a questo fine occorre calcolare a partire dalle equazioni precedenti e . Per fare questo si osservi che in queste equazioni i campi sono scritti in termini di serie di Fourier complessa per la quale vale l'uguaglianza di Bessel[2] e quindi:
per cui, non dipendendo da , e da , si ha immediatamente:[3]

Introducendo ora le variabili dinamiche:

l'Hamiltoniana del campo magnetico si scrive come:
Questa forma è probante: essa si intrepreta dicendo che l'energia del campo elettromagnetico è data dalla somma delle energie di tanti oscillatori armonici di frequenze corrispondenti ai modi normali. A questo punto, la quantizzazione del campo elettromagnetico puo' effettuarsi introducendo le relazioni di commutazione:
Da queste relazioni e dalle relazioni su e , che si possono anche scrivere nella forma:
si ricava l'altra relazione di commutazione:

Quantisticamente, il campo elettromagnetico è quindi descritto dall'operatore:

Si osservi che essendo:

il termine si può interpretare come la funzione d'onda del quanto del campo elettromagnetico (fotone), corrispondente rispettivamente a energia e impulso . Ancora, si può considerare e rispettivamente come l'operatore di creazione e distruzione di un fotone di energia .[4] Cosi' il campo elettromagnetico è scritto come una somma di operatori di distruzione per la funzione d'onda del fotone piu' un operatore di distruzione del fotone .[5] Analogamente a quanto fatto per l'energia, si può poi calcolare l'impulso del campo elettromagnetico, si trova in maniera analoga:[6]

Gli autovalori di energia e impulso sono allora dati da:

Il termine , come noto, è un numero intero che in questo caso andrà interpretato come numero di fotoni di energia , impulso e polarizzazione . Si osservi che l'energia in assenza di fotoni anziché essere nulla e' infinita, questa incongruenza si puo' risolvere elimininando (rigorosamente) il termine . Questo inconveniente invece non si ha per l'impulso, in quanto se un fotone può avere impulso , ha anche e cosi' per si ha .

  1. In generale, in maniera piu' corretta, al posto della sommatoria in si sarebbe dovuto utilizzare un integrale in , in quanto puo' appunto assumere valori continui. Tuttavia, per semplicita' formale si assumera' che possa assumere solo valori discreti che fra l'altro e' il caso di una cavita' risonante, come noto.
  2. Il quadrato della somma di una serie di Fourier e' uguale alla somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo di Fourier stesso.
  3. Dalla relazione di dispersione .
  4. O, inversamente, un operatore rispettivamente di distruzione e creazione di un fotone di energia .
  5. Naturalmente, si intende che gli operatori e non agiscano sulle funzioni d'onda per le quali sono moltiplicati a sinistra.
  6. Vale la relazione:
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