Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo

Normalmente si ha un'hamiltoniana non dipendente dal tempo, che descrive quindi un sistema isolato, ma in alcuni non succede e abbiamo una $H(t)$ $H(t)$ che varia nel tempo, descrivendo un sistema più o meno complesso che scambia energia con l'ambiente. Consideriamo un caso simile con una perturbazione $\delta H(t)=H'(t)$ $\delta H(t)=H'(t)$ dipendente da un parametro piccolo $\epsilon$ $\epsilon$ come nei casi precedenti; $H_{0}$ $H_0$ sarà l'hamiltoniana imperturbata del problema e avremo quindi $H(t)=H_{0}+H'(t)$ $H(t)=H_{0}+H'(t)$ da inserire nell'equazione di Schrödinger $i\hbar \partial _{t}\psi (t)=H(t)\psi (t)$ $i\hbar \partial _{t}\psi (t)=H(t)\psi (t)$ . Supponiamo anche questa volta di conoscere le soluzioni di $H_{o}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}=E_{n}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$ $H_{o}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}=E_{n}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}$ , anche qui con $({\boldsymbol {\Psi }}_{n},{\boldsymbol {\Psi }}_{m})=\delta _{nm}$ $({\boldsymbol {\Psi }}_{n},{\boldsymbol {\Psi }}_{m})=\delta _{nm}$ set completo. Scriviamo allora lo stato generico dipendente dal tempo in funzione di questa base come:

\sum _{n}c_{n}e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}

Dove $e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}=e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}$ $e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}=e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}$ è l'evoluzione temporale già nota. I coefficienti di espansione $c_{n}(t)$ $c_{n}(t)$ dipendono anch'essi dal tempo. Andiamo a sostituire questi stati nell'equazione di Schrödinger; il membro di sinistra è:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}(t)=i\hbar \sum _{n}{\dot {c}}_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}+i\hbar \sum _{n}c_{n}(t)\left(-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}\right)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}

Il termine a destra è invece:

H(t){\boldsymbol {\Psi }}_{n}(t)=(H_{0}+H'(t)){\boldsymbol {\Psi }}_{n}(t)=\sum _{n}c_{n}(t)E_{n}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}+\sum _{n}c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}H'(t){\boldsymbol {\Psi }}_{n}

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

i\hbar \sum _{n}{\dot {c}}_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}{\boldsymbol {\Psi }}_{n}=\sum _{n}c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}H'(t){\boldsymbol {\Psi }}_{n}

Moltiplichiamo a sinistra per ${\boldsymbol {\Psi }}_{m}$ ${\boldsymbol {\Psi }}_{m}$ e, saltando un passaggio, otteniamo:

i\hbar {\dot {c}}_{m}(t)e^{-i{\frac {E_{m}}{\hbar }}t}=\sum _{n}c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}H'_{mn}

Abbiamo ottenuto un'equazione esatta per i coefficienti di espansione in serie; possiamo considerare, al primo ordine nella teoria delle perturbazioni, $c_{n}(t)\approx c_{n}(0)$ $c_{n}(t)\approx c_{n}(0)$ : questa può essere una condizione che viene esplicitamente data dal problema a cui si fa riferimento. In questo caso, allora, avremo:

C_{m}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{n}c_{n}(0)\int _{0}^{t}dt'\,e^{i{\frac {(E_{m}-E_{n})}{\hbar }}t}H'_{mn}(t)

Osserviamo che l'elemento di matrice $H'_{mn}$ $H'_{mn}$ è fondamentale per poter ottenere efficacemente i coefficienti di espansione e, di conseguenza, gli stati che andiamo a cercare.