Proiezione su sottospazi

Osservazione

Sia sottospazio lineare di uno spazio vettoriale . Allora anche la chiusura di () è sottospazio lineare.

 


Dimostrazione

Un sottoisieme di è sottospazio lineare se è chiuso per somma e prodotto per scalare e se . Queste condizioni possono essere tradotte, attraverso le nozioni di somma e di traslazione di insiemidate nella prima lezione, come

In particolare quindi vogliamo mostrare che
Sia ora . Allora per le proprietà della chiusura esiste una successione convergente a . Ma allora per ogni reale la successione (la relazione insiemistica vale poichè sotospazio lineare) converge ad , per continuità dell'operazione prodotto per scalare. Ma allora ho trovato, per ogni , una successione tutta contenuta in convergente a . Segue che , da cui, per l'arbitrarietà di , si ha che
Con un argomento del tutto identico, sfruttando la continuità dell'operazione di somma, si prova che , allora . Poichè
vale per segue quindi la tesi.

 


Teorema (caratterizzazione della proiezione)

Sia spazio di Hilbert, suo sottospazio lineare chiuso, sia per . Allora si caratterizza come l'unico elemento di per cui

 


Dimostrazione

Sia vero , allora è verificata la proprietà dell'angolo ottuso vista in precedenza che identifica univocamente la proiezione su un sottoinsieme convesso chiuso ( è sottospazio lineare e qundi è anche convesso). Quindi se vale si ha effettivamente che .

Viceversa sia ; allora si ha che

In particolare, posto , con , , da quanto ricavato si ha
Ma questa diseguaglianza deve valere per tutti i reali, quindi sia per valori positivi che negativi: l'unica possibilità è quindi che valga l'uguaglianza, ossia che valga .

 


Proposizione

Sia sottospazio chiuso di uno spazio Hilbertiano . Allora comunque scelto esiste unica la scrittura

 


Osservazione

Dalla proposizione segue che

 


Dimostrazione

Poichè è sottospazio lineare allora . Sia e sia . Allora poichè vale si ha che

Ma allora e .

Proviamo ora l'unicità di tali . Supponiamo esistano tali che

allora , da cui . Segue la tesi.

 


Osservazione

Abbiamo visto che l' che compariva nell'espressione era . Mostriamo che : comunque scelto si ha

poichè . La veridicità dell'osservazione segue dal teorema che caratterizza la proiezione.

 


Osservazione

Per quanto appena detto segue che, , sottospazio chiuso:

 


Osservazione

La funzione è lineare. Infatti, siano , siano . Allora, comunque scelto ,

per la caratterizzazione della proiezione di e . Ma allora, sempre per la caratterizzazione data, la proiezione di , coincide con , e quindi è lineare.

 


Osservazione

Per ogni spazio hilbertiano vale la seguente disuguaglianza:

 
Dimostrazione

segue la tesi nel caso ; nel caso la proiezione abbia norma nulla allora la tesi è banalmente verificata per ogni elemento di e quindi anche da .

 


Proposizione

L'applicazione lineare ha come nucleo , come immagine .

 


Dimostrazione

Ovviamente per definizione di proiezione . Viceversa, ogni elemento di è immagine di se stesso. Quindi per qualsiasi , , perciò tale appartiene all'immagine, da cui . Segue la prima uguaglianza.

Sia ora . Allora e quindi, per la caratterizzazione della proiezione, per ogni ,

da cui .

Viceversa sia ; allora è vero che, per ogni ,

Ma allora (poichè sottospazio) è l'unico elemento per cui vale , per cui e quindi . Segue la tesi.

 


Corollario
  1. Sia sottospazio chiuso di hilbertiano; allora
  2. Per ogni , si ha
  3. Sia sottospazio di . Allora è denso in , ossia ; se e solo se
 


Dimostrazione

1) Poiché per ipotesi è sottospazio chiuso, e per quanto mostrato anche lo è (poiché complemento ortogonale), vale per entrambi, per cui

da cui . Ma allora le immagini delle due applicazioni coincidono e, dal teorema precedente, segue che:

2) Per definizione

Ma allora si verifica subito, per definizione di , che . Segue quindi , poiché il complemento ortogonale è un sottospazio, e poichè esso è anche chiuso segue

Viceversa, ovviamente , quindi

ove nell'ultimo passaggio si è utilizzato il punto precendente del corollario sulla chiusura di , sottospazio lineare chiuso. Segue la tesi.

3) Sia . Allora, poichè è sottospazio chiuso, per il punto 1) questo equivale a

dato anche che è sottospazio chiuso (e quindi coincide con la sua chiusura). Ma questo se e solo se .

 
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