Proiezione

Esistenza ed unicità[modifica | modifica wikitesto]

Teorema

Sia uno spazio di Hilbert, dato un insieme convesso e chiuso , si ha che per tale che

 


Dimostrazione

Se è banale, . Si supponga quindi che . Allora, per le proprietà di estremo inferiore, esiste una successione minimizzante, ossia una successione tale che

Allora da questo segue che
Se riusciamo a dimostrare che allora abbiamo provato l'esistenza di quanto cercavamo: infatti poichè è chiuso, se esiste, ; inoltre per la continuità della norma, , e per come abbiamo definito la successione e quindi è proprio quello cercato, poichè per l'unicità del limite per vale la tesi.

Mostriamo che la successione è di Cauchy, in tal caso, per la completezza di , ne seguirà la sua convergenza. Allora sia fissato, se , si ha (per l'identità del parallelogramma)

Sia ora ; allora, poichè convesso, . Ma allora per la tesi dimostrata e per la dimostrazione fatta si ha che
mostrando quindi che la successione è di Cauchy. Quindi per quanto detto abbiamo provato l'esistenza di tale . Proviamone l'unicità. Supponiamo per assurdo che esista tale da verificare la prima disuguaglianza. Allora
Ma , e per vale la tesi, quindi

e quindi .

 


Definizione

Sia uno spazio di Hilbert, sia un sottoinsieme convesso e chiuso. Allora definiamo, , la proiezione di su , che indichiamo con , come l'unico per cui valga il teorema della proiezione.

 


Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Teorema

Sia uno spazio di Hilbert, sia un sottoinsieme convesso e chiuso. Sia e sia ; allora verifica la seguente proprietà

 


Viceversa se è tale da verificare quanto sopra, allora .

Dimostrazione

Sia . Allora per ogni , poichè convesso, il vettore

Allora per definizione di , ,
Passando ai quadrati e sviluppando
da cui, poichè
Ma questo deve valere per ogni , quindi deve valere anche per positivo e piccolo a piacere. Segue quindi che deve valere che
da cui segue la tesi per l'arbitrarietà di .

Viceversa sia tale per cui valga \eqref{angott}, sia . Allora dal teorema appena dimostrato segue che

ove si è usata la tesi del teorema, che è valida per ogni , rispettivamente per e . Segue quindi, scambiando i segni interni al secondo prodotto
da cui
Quindi da cui per gli assiomi di norma.

 


Definizione

Sia spazio di Hilbert e sottoinsieme convesso chiuso. Per quanto visto possiamo allora ridefinire, per ogni , come l'unico per cui valga il teorema appena dimostrato.

 
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