Richiami teorici

Consideriamo l'equazione

$$g(X,Y)=0\quad {\hbox{equazione}}\ast$$

$$g(X,Y)=0\quad {\hbox{equazione}}\ast$$

con $G\colon A\subset \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$$G\colon A\subset \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$. I punti di $A$$A$ sono della forma $P=(X,Y)$$P=(X,Y)$ con $X\in \mathbb {R} ^{n}$$X\in \mathbb {R} ^{n}$, $Y\in \mathbb {R} ^{m}$$Y\in \mathbb {R} ^{m}$. Si dice che l'equazione $\ast$$\ast$ definisce implicitamente la funzione $Y=f(X)$$Y=f(X)$ in un intorno di un punto $(X_{0},Y_{0})$$(X_{0},Y_{0})$ se sono soddisfatte tre condizioni:

1. $g$$g$ è di classe $C^{1}$$C^1$.
2. $g(X_{0},Y_{0})=0$$g(X_{0},Y_{0})=0$
3. esiste un intorno $U(X_{0})$$U(X_{0})$ ed un'unica funzione $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$$f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ tale che $(X,f(X))\in A$$(X,f(X))\in A$ per ogni $X\in U$$X\in U$ e $g(X,f(X))=0\forall X\in U$$g(X,f(X))=0\forall X\in U$.

In particolare, il teorema del Dini afferma che se le prime due condizioni valgono e se la matrice jacobiana della $g$$g$ rispetto alle variabili $Y$$Y$ nel punto $(X_{0},Y_{0})$$(X_{0},Y_{0})$ è invertibile (condizione 3b), allora $g(X,Y)$$g(X,Y)$ definisce implicitamente la funzione $Y=f(X)$$Y=f(X)$ in un intorno di $(X_{0},Y_{0})$$(X_{0},Y_{0})$, $f$$f$ è di classe $C^{1}(U)$$C^{1}(U)$ e la jacobiana della $f$$f$ valutata in $X$$X$ è definita dall'equazione:

$$J_{f}(X)=-[(J_{g})_{Y}(X,f(X))]^{-1}\circ (J_{g})_{X}(X,f(X))\quad {\hbox{equazione}}\ast \ast$$

$$J_{f}(X)=-[(J_{g})_{Y}(X,f(X))]^{-1}\circ (J_{g})_{X}(X,f(X))\quad {\hbox{equazione}}\ast \ast$$

e questa relazione vale per ogni $X\in U$$X\in U$.