Esercizio 6.1
Sia data

si verifichi che l'equazione

definisce implicitamente

in un intorno del punto

con

. Si dimostri che

è un punto di minimo locale per

.
Verifico che l'equazione
definisce il grafico di una funzione nel punto
, e quindi verifico le tre condizioni enunciate sopra:
è di classe
, (allora anche la funzione implicita lo è).



Allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema della funzione implicita.
Verifico che
è un punto di minimo. In questo caso, l'equazione
che definisce
diventa:

quindi applico la formula in

.


Quindi:

e questa è una condizione necessaria affinché

sia un punto di minimo per

. A questo punto,

è un punto di minimo se la derivata seconda è positiva, altrimenti è negativa.
Tenendo conto che
è regolare, ricaviamo la derivata seconda dalla condizione

Derivando la relazione si ottiene:

ed esplicitando

:

e si ricava l'equazione

. Derivando ulteriormente si può ricavare l'espressione della derivata seconda.
Considerando l'esempio:

e derivando rispetto a

:


Derivando ulteriormente:

e valutando in

, con

, e

, ottengo:


allora

è un minimo.
Esercizio 6.2
Sia
definita come:

- Sia
tale che
e
. E' vero che
definisce implicitamente
in un intorno del punto
?
- Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione
-definita implicitamente da
in un intorno del punto
.
- Trovare tutti i punti
tali che
ma in cui il teorema del Dini non garantisce l'esistenza di
.
- Verifico se
soddisfa le ipotesi del teorema del Dini: sappiamo già che
è di classe
e che
. Allora il teorema del Dini è applicabile se
.


Allora per ogni punti
con
e con
è applicabile il teorema del Dini.
è soluzione di
ed è della forma
con
. Allora per il punto 1 in un intorno di
si ha
Scriviamo lo sviluppo di Taylor di f: dobbiamo quindi ricavare le espressioni di
e
.
Derivando una volta rispetto a
:
e tenendo conto che
e
:

Derivo ancora per ricavare
:



Si può quindi scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 associato a
:
cioè
- Voglio determinare punti in cui
e in cui non sia applicabile il teorema del Dini, cioè tali che
.
Inoltre, siccome dev'essere
si ha:
cioè
e sostituendo nell'espressione che esprime
in funzione di
:
quindi l'unico punto in cui il teorema di Dini non è applicabile e in cui
è
Esercizio 6.3
Verificare che il sistema

definisce implicitamente una curva di equazioni parametriche

in un intorno del punto

e scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in

.
In questo caso si ha una funzione
. Si vogliono esplicitare
e
in funzione di
.
Verifico che il sistema

definisce una curva

.
Verifico le ipotesi del teorema del Dini:
è di classe
in
;
- valutando
in
si ha:
quindi
.
- Per verificare la terza condizione scrivo la matrice:




Allora il teorema della funzione implicita è applicabile, ed è possibile definire la curva:

La retta tangente alla curva passa per
, e ha coefficiente angolare
, quindi ha equazione:

Tenendo conto che
si ha:

Ponendo

per la sua derivata si ha:



Quindi

Invece





ed è il vettore

.
Allora la retta tangente ha equazioni:

Alternativamente, senza procedere con le matrici, si considera il sistema:

Derivando ottengo:


e valutando l'espressione in

trovo un sistema lineare in

e

.
Esercizio 6.4
E' data l'equazione:

Si richiede di verificare che in un intorno del punto

l'equazione

definisce implicitamente una superficie di equazione

. Scrivere l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto

.
Vogliamo esplicitare
in funzione di
e
. Verifichiamo le ipotesi del teorema del Dini:
è di classe 

- Si ha
quindi
.
Allora il teorema della funzione implicita è applicabile e
definisce implicitamente la superficie cercata.
Il piano tangente alla superficie nel punto
si trova immediatamente con la formula:

in quanto passa per

ed è perpendicolare a

, che è diretto come il versore normale al piano tangente.
In questo caso bisogna risolvere l'equazione:


Allora:


cioè

è l'equazione del piano tangente nel punto

.
Esercizio 6.5
Sia
una funzione continua tale che
. Verificare che il sistema:

definisce implicitamente la curva:

in un intorno del punto

.
Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva nel punto
e discutere la massima regolarità che si può garantire per la funzione implicita.
Verifico le ipotesi del teorema del Dini:
- Siccome
è continua la funzione integrale è di classe
, quindi
è di classe
in
.


- Per la terza ipotesi, vogliamo verificare che la matrice jacobiana rispetto alle variabili
della funzione
sia invertibile.


quindi la matrice è invertibile e il teorema del Dini è applicabile.
Massima regolarità garantita: Se
è di classe
, la funzione implicita è di classe
. In questo caso, senza ulteriroi ipotesi
è al più di classe
, e lo stesso vale per la funzione implicita.
402
Retta tangente: Vogliamo trovare
. Vale la relazione:

Inverto la matrice trovata prima:

Invece:

e valutando in

, siccome

ho il vettore colonna

In conclusione, svolgendo il prodotto ottengo il vettore:

allora l'equazione della retta tangente è:

Esercizio 6.6
Sia
la curva definita implicitamente dal sistema

in un intorno di

. Si determini il versore tangente a

in

.
Il versore tangente ha espressione:

con





Quindi

Esercizio 6.7
Si studi la funzione
definita implicitamente dalla relazione

Questa relazione è ben definita se e solo se
e quindi se e solo se
, cioè se
e
oppure per
e
.
Per il teorema del Dini segue che:

con



La funzione ottenuta è definita anch'essa per

,

e

cioè


e questo è sempre vero per

.

La derivata della funzione si annulla se

(ma qui la funzione non è definita), oppure quando


e anche questo non è possibile se

, quindi la derivata della funzione non ha punti stazionari.
Inoltre, la derivata nel complesso è negativa, quindi la funzione
è decrescente negli intervalli
e in
.
Supponiamo che

sia finito, allora, in questo caso si ha necessariamente

e quindi segue che

. Allora, per

la relazione che definisce

si può riscrivere come:



ma questo non è possibile perché mentre il primo membro tende a infinito, il secondo membro è una quantità finita, allora si ha necessariamente

e in particolare per monotonia

. Analogamente,

.
Esercizio 6.8
Si studi la funzione
definita implicitamente dalla relazione

- Derivata prima: Ponendo

si ha:

quindi, per il teorema del Dini, la derivata della funzione definita implicitamente dalla relazione è:
- Punti stazionari:I punti stazionari della funzione sono quelli per cui:

e quindi i punti tali che
. Sfrutto la relazione deinitoria per trovare i punti della forma
. Deve valere:


Allora l'unico punto
tale che
è
, ed è l'unico punto stazionario per la funzione.
- Positività della derivata: La derivata è positiva per
, e negativa per
, cioè la funzione è decrescente quando sta sopra la retta
e crescene quando sta sotto questa retta.
- Limiti della funzione: Supponiamo che

sia finito, allora sostituendo nella relazione definitoria si avrebbe:

e si ha una contraddizione perché il primo membro tende a
mentre il secondo membro è finito, quindi
.Calcoliamo ora
Supponiamo che
sia finito, allora considerando la relazione
in questo caso non si ha nessuna contraddizione, perché
, e quindi sia il primo che il secondo membro sono finiti. Anche il secondo membro dev'essere uguale a 0, e quindi si avrebbe:
e quindi
La funzione ha un asintoto orizzontale per
.
- Derivata seconda: Derivo due volte la relazione definitoria per trovare la derivata seconda:



quindi
Valutando la derivata seconda in
si ha:
quindi
è un punto di minimo per
.
Esercizio 6.9
Sia
.
- Si dimostri che
in un intornodi
coincide con il grafico di una funzione
.
- Si scriva lo sviluppo di Taylor del secondo ordine (con il restodi Peano) di
centrato in
.
- Si verifichi che
è un punto di massimo locale per
.
Verifico le ipotesi del teorema del Dini. Pongo

è di classe
.
, infatti:
, infatti:

allora esiste un intorno
di
tale che
sia il grafico di una funzione
.
Derivando una volta la relazione
rispetto a
ottengo

da cui si ottiene:



e valutando in

ottengo:

Derivando due volte la relazione definitoria ottengo:
![{\displaystyle e^{2x-y}*[(2x'-1)^{2}+2x'']-\sin(x+y)*(x'+1)^{2}+\cos(x+y)x''=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/19d05a71830f1f8bfd439d3f5efabbeecc40873e)
e sostituendo le espressioni di

ottengo:
![{\displaystyle 1*[1+2x'']+1x''=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/976d388f54daee642c5dba8ddce26036369934f4)


Allora lo sviluppo di Taylor centrato in

di

è

Osservo che

, cioè

è un punto stazionario per la funzione, inoltre

e quindi

è un punto di minimo per

.