Serie generiche

Richiami teorici

1. Consideriamo una successione di funzioni $f_{n}\colon I\to \mathbb {R}$$f_{n}\colon I\to \mathbb {R}$. Possiamo allora considerare la serie associata a tale successione, inidcata col simbolo
   $$\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$$

   $$\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$$
   tale che
   $$s_{1}(x)=f_{1}(x),\quad s_{2}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x),\quad \dots s_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots +s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$$

   $$s_{1}(x)=f_{1}(x),\quad s_{2}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x),\quad \dots s_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots +s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$$
   Siccome la serie è la successione delle somme parziali, i risultati validi per le successioni valgono anche per le serie.
2. Per studiare serie numeriche a segni alterni si può applicare il criterio di Leibniz: consideriamo una successione $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ a valori reali e supponiamo che $a_{n}\to 0\iff n\to \infty$$a_{n}\to 0\iff n\to \infty$ (condizione necessaria per la convergenza),e tale che definitivamente valgano le due proprietà: $a_{n}\geq 0$$a_{n}\geq 0$ e $a_{n}\geq a_{n+1}$$a_{n}\geq a_{n+1}$, cioè esiste $n_{0}$$n_{0}$ tale che per ogni $n>n_{0}$$n>n_{0}$ la serie è positiva e decrescente. Allora la serie converge.
3. In uno spazio di Banach, una serie $\sum f_{n}$$\sum f_{n}$ converge uniformemente a $f(x)$$f(x)$ se
   $$\vert s_{n}-f(x)\vert \leq \varepsilon$$

   $$\vert s_{n}-f(x)\vert \leq \varepsilon$$
   che implica
   $$\sup |f(x)-\sum f_{n}|<\varepsilon$$

   $$\sup |f(x)-\sum f_{n}|<\varepsilon$$
4. Se considero una serie a segni alterni della forma $\sum (-1)^{n}a_{n}$$\sum (-1)^{n}a_{n}$, a cui è applicabile il criterio di Leibniz, e la cui somma è $f(x)$$f(x)$, è sempre vero che
   $$|s_{n}-f(x)|\leq a_{n+1}$$

   $$|s_{n}-f(x)|\leq a_{n+1}$$
   dove $a_{n+1}$$a_{n+1}$ è il primo termine che non compare nel termine $n$$n$-esimo $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ della serie.
5. Per le serie numeriche può essere utile applicare il Criterio del rapporto: Suppiniamo di avere una serie a termini positivi $\sum a_{n}$$\sum a_{n}$ e considero il rapporto
   $${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$$

   $${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$$
   Se questo rapporto ha un limite per $n\to +\infty$$n\to +\infty$, allora se il limite è minore di 1 la serie converge, se il limite è uguale a 1 non si può determinare a propri il carattere della serie, se il limite è maggiore di 1 la serie diverge.
6. Criterio di Weierst rass: Sia $f_{n}$$f_n$ una successione di funzioni limitate $\colon [a,b]\to \mathbb {R}$$\colon [a,b]\to \mathbb {R}$. Se esiste una successione numerica $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ a valori in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ tale che
   $$|f_{n}(t)|\leq a_{n}\quad \forall t\in [a,b]\quad {\hbox{e per n sufficientemente grande}}$$

   $$|f_{n}(t)|\leq a_{n}\quad \forall t\in [a,b]\quad {\hbox{e per n sufficientemente grande}}$$
   e tale che $\sum a_{n}$$\sum a_{n}$ converge, allora la serie $\sum f_{n}$$\sum f_{n}$ converge totalmente e uniformemente.

Esercizi

Esercizio 13.1

Considero la serie di funzioni:

$$\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}*{\frac {e^{-x^{2}/n}}{\sqrt {n}}}$$

$$\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}*{\frac {e^{-x^{2}/n}}{\sqrt {n}}}$$

• Studiare la convergenza puntuale
• Studiare la convergenza uniforme
• studiare la convergenza assoluta della serie
• Studiare la convergenza della serie delle derivate per $x\geq 0$$x\geq 0$.

 

Convergenza puntuale: Fisso $x$$x$ e ottengo una serie numerica a segni alterni. Verifico se è applicabile il criterio di Leibniz:

1. Per $n\to +\infty$$n\to +\infty$, $e^{-x^{2}/n}\leq 1$$e^{-x^{2}/n}\leq 1$, allora
   $$a_{n}={\frac {e^{-x^{2}/n}}{\sqrt {n}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {n}}}\to 0$$

   $$a_{n}={\frac {e^{-x^{2}/n}}{\sqrt {n}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {n}}}\to 0$$
2. La successione $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ ha termini positivi.
3. Per provare che la successione è decrescente, definisco una funzione ausiliaria
   $$g(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/y}}{\sqrt {y}}}$$

   $$g(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/y}}{\sqrt {y}}}$$
   Voglio provare che questa funzione è decrescente per $y$$y$ abbastanza grande, allora calcolo la derivata parziale rispetto a $y$$y$, per $x$$x$ fissato.
   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}*{\frac {x^{2}}{y^{2}}}*{\sqrt {y}}-e^{-x^{2}/y}*1/2{\frac {\sqrt {y}}{y}}}{y}}$$

   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}*{\frac {x^{2}}{y^{2}}}*{\sqrt {y}}-e^{-x^{2}/y}*1/2{\frac {\sqrt {y}}{y}}}{y}}$$
   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}}{y*{\sqrt {y}}}}*[x^{2}/y-1/2]$$

   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}}{y*{\sqrt {y}}}}*[x^{2}/y-1/2]$$
   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}}{y^{2}*{\sqrt {y}}}}*[x^{2}-1/2y]$$

   $$f_{n}'={\frac {e^{-x^{2}/y}}{y^{2}*{\sqrt {y}}}}*[x^{2}-1/2y]$$
   La derivata è positiva se
   $$x^{2}-1/2y\leq 0$$

   $$x^{2}-1/2y\leq 0$$
   $$2x^{2}-y\leq 0$$

   $$2x^{2}-y\leq 0$$
   $$y\geq 2x^{2}$$

   $$y\geq 2x^{2}$$
   Per $y$$y$ abbastanza grande e dipendente da x ($y>2x^{2}$$y>2x^{2}$), la quantità è definitivamente decrescente, infatti esiste un indice $n_{0}(x)$$n_{0}(x)$ tale che $g(x)_{n+1}<g(x)_{n}$$g(x)_{n+1}<g(x)_{n}$. Il fatto che l'indice dipende da x indica che il criterio di Leibniz dà solo informazioni sulla convergenza puntuale, e non su quella uniforme.

Sono soddisfatte le ipotesi del criterio di Leibniz, e quindi per ogni $x$$x$ c'è convergenza puntuale.

Convergenza uniforme: sappiamo che $\sum f_{n}$$\sum f_{n}$ converge a una certa $f(x)$$f(x)$ e che per le proprietà delle serie a segni alterni,

$$\vert f(x)-s_{n}\vert \leq {\frac {e^{-x^{2}/(n+1)}}{\sqrt {n+1}}}$$

$$\vert f(x)-s_{n}\vert \leq {\frac {e^{-x^{2}/(n+1)}}{\sqrt {n+1}}}$$

Quindi

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)-s_{n}(x)|\leq \sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {e^{-x^{2}/(n+1)}}{\sqrt {n+1}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\to 0\,{\hbox{per}}\,n\to +\infty$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)-s_{n}(x)|\leq \sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {e^{-x^{2}/(n+1)}}{\sqrt {n+1}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\to 0\,{\hbox{per}}\,n\to +\infty$$

Allora si ha convergenza uniforme

Convergenza assoluta: considero la serie dei moduli:

$$\sum _{n=0}^{\infty }|{\frac {1}{\sqrt {n}}}*e^{-x^{2}/n}|$$

$$\sum _{n=0}^{\infty }|{\frac {1}{\sqrt {n}}}*e^{-x^{2}/n}|$$

Per $x$$x$ fissato, $e^{-x^{2}/n}\sim 1$$e^{-x^{2}/n}\sim 1$, allora il termine $n$$n$-esimo della serie è asintotico a ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$${\frac {1}{\sqrt {n}}}$, e la serie $\sum {\frac {1}{\sqrt {n}}}$$\sum {\frac {1}{\sqrt {n}}}$ non converge.

Convergenza puntuale della serie delle derivate: Derivo il termine $n$$n$-esimo della serie:

$$f_{n}'(x)={\frac {1}{\sqrt {n}}}*[-e^{-x^{2}/n}*2x/n*(-1)^{n}]$$

$$f_{n}'(x)={\frac {1}{\sqrt {n}}}*[-e^{-x^{2}/n}*2x/n*(-1)^{n}]$$

$$f_{n}'(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt {n}}}*e^{-x^{2}/n}*2x/n$$

$$f_{n}'(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt {n}}}*e^{-x^{2}/n}*2x/n$$

Verifico se posso applicare Leibniz alla serie $\sum _{n}f_{n}'(x)$$\sum _{n}f_{n}'(x)$:

1. $a_{n}={\frac {e^{-x^{2}/n}}{n{\sqrt {n}}}}$$a_{n}={\frac {e^{-x^{2}/n}}{n{\sqrt {n}}}}$ tende a 0 ed è una successione di funzioni positive.
2. Per dimostrare che la successione è definitivamente decrescente definisco la funzione ausiliaria
   $$g(x,y)={\frac {2x*e^{-x^{2}/y}}{y{\sqrt {y}}}}$$

   $$g(x,y)={\frac {2x*e^{-x^{2}/y}}{y{\sqrt {y}}}}$$
   Derivo rispetto a $y$$y$.
   $${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {2x*e^{-x^{2}/y}*{\frac {x^{2}}{y^{2}}}*y{\sqrt {y}}-2x*3/2*e^{-x^{2}/y}*y^{1/2}}{y^{5/2}}}$$

   $${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {2x*e^{-x^{2}/y}*{\frac {x^{2}}{y^{2}}}*y{\sqrt {y}}-2x*3/2*e^{-x^{2}/y}*y^{1/2}}{y^{5/2}}}$$
   $$=[{\frac {2x*e^{-x^{2}/y}}{y^{2}}}]*[{\frac {x^{2}}{y}}-3/2]$$

   $$=[{\frac {2x*e^{-x^{2}/y}}{y^{2}}}]*[{\frac {x^{2}}{y}}-3/2]$$
   $$x^{2}/y-3/2\leq 0$$

   $$x^{2}/y-3/2\leq 0$$
   $$y\geq 2/3x^{2}$$

   $$y\geq 2/3x^{2}$$
   Per $y\to +\infty$$y\to +\infty$$g$$g$ è definitivamente decrescente in $y$$y$. Allora il termine $n$$n$-esimo $f_{n}'(x)$$f_{n}'(x)$ è definitivamente decrescente in $n$$n$.

Quindi Leibniz è applicabile e c'è convergenza puntuale per $x>0$$x>0$.

Per la convergenza uniforme, uso la stima del resto $n$$n$-esimo, valida per le serie a segni alterni, e chiamo $u(x)$$u(x)$ la somma della serie: per ogni $x$$x$

$$|u(x)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k{\sqrt {k}}}}*2x*e^{-x^{2}/k}|\leq s_{n+1}={\frac {2|x|*e^{-x^{2}/(n+1)}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

$$|u(x)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k{\sqrt {k}}}}*2x*e^{-x^{2}/k}|\leq s_{n+1}={\frac {2|x|*e^{-x^{2}/(n+1)}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

quindi

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|u(x)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k{\sqrt {k}}}}*2x*e^{-x^{2}/k}|$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|u(x)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k{\sqrt {k}}}}*2x*e^{-x^{2}/k}|$$

$$\leq \sup _{x\in \mathbb {R} }a_{n+1}=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {2x*e^{-x^{2}/(n+1)}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

$$\leq \sup _{x\in \mathbb {R} }a_{n+1}=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {2x*e^{-x^{2}/(n+1)}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

Studio la funzione $a_{n+1}(x)$$a_{n+1}(x)$ per determinarne il sup:

${\frac {2}{{\sqrt {n+1}}*(n+1)}}$${\frac {2}{{\sqrt {n+1}}*(n+1)}}$ è una costante positiva, allora studio la derivata rispetto a $x$$x$ della quantità

$$r(x)=x*e^{-x^{2}/(n+1)}\,{\hbox{per}}\,x>0$$

$$r(x)=x*e^{-x^{2}/(n+1)}\,{\hbox{per}}\,x>0$$

$$r'(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{n+1}}}-x*e^{-{\frac {x^{2}}{n+1}}}*{\frac {2x}{n+1}}$$

$$r'(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{n+1}}}-x*e^{-{\frac {x^{2}}{n+1}}}*{\frac {2x}{n+1}}$$

$$r'(x)\geq 0$$

$$r'(x)\geq 0$$

$$1-2x^{2}/(n+1)\geq 0$$

$$1-2x^{2}/(n+1)\geq 0$$

$${\frac {2x^{2}}{n+1}}-1\leq 0$$

$${\frac {2x^{2}}{n+1}}-1\leq 0$$

$$x^{2}\leq {\frac {n+1}{2}}$$

$$x^{2}\leq {\frac {n+1}{2}}$$

$$-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\leq x\leq {\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}$$

$$-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\leq x\leq {\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}$$

Allora la funzione è crescente per $0<x<{\sqrt {(n+1)/2}}$$0<x<{\sqrt {(n+1)/2}}$ e assume il suo massimo in $x={\sqrt {(n+1)/2}}$$x={\sqrt {(n+1)/2}}$, sostituisco questo valore nella funzione per calcolare il massimo:

$$\sup _{x>0}a_{n+1}={\frac {2{\sqrt {(n+1)/2}}*e^{-1/2}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

$$\sup _{x>0}a_{n+1}={\frac {2{\sqrt {(n+1)/2}}*e^{-1/2}}{[(n+1)*{\sqrt {n+1}}]}}$$

$$={\frac {2/{\sqrt {2}}*e^{-1/2}}{n+1}}\to 0\quad {\hbox{per}}\,n\to +\infty$$

$$={\frac {2/{\sqrt {2}}*e^{-1/2}}{n+1}}\to 0\quad {\hbox{per}}\,n\to +\infty$$

Allora il resto $n$$n$-esimo della serie si può maggiorare indipendentemente da $x$$x$ con una quantità che tende a 0, e quindi c'è convergenza uniforme della serie delle derivate.

Esercizio 13.2

Consideriamo la seguente successione di funzioni:

$$f_{n}(x)=1/n*\arctan(|x|^{n})\quad n\geq 1$$

$$f_{n}(x)=1/n*\arctan(|x|^{n})\quad n\geq 1$$

• trovare l'insieme di convergenza puntuale della successione e verificare se c'è anche convergenza uniforme.
• calcolare

$$\lim _{n\to +\infty }[\int _{0}^{10}f_{n}(x)\,dx]$$

$$\lim _{n\to +\infty }[\int _{0}^{10}f_{n}(x)\,dx]$$

• Considerare la serie

$$\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$$

$$\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$$

e discuterne convergenza puntuale, uniforme e totale.

 

Convergenza della successione: Il limite puntuale di questa successione è la funzione nulla, inoltre osservo che

$$|f_{n}(x)|\leq {\frac {\pi }{2n}}\forall x$$

$$|f_{n}(x)|\leq {\frac {\pi }{2n}}\forall x$$

quindi

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {\arctan(|x|^{n})}{n}}\leq {\frac {\pi }{2n}}\,\to 0\iff n\to \infty$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }{\frac {\arctan(|x|^{n})}{n}}\leq {\frac {\pi }{2n}}\,\to 0\iff n\to \infty$$

e quindi la funzione converge uniformemente su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

Calcolo dell'integrale: Siccome $\{f_{n}\}$$\{f_{n}\}$ converge uniformemente per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si ha che il limite da calcolare

$$\lim _{n\to +\infty }[\int _{0}^{10}f_{n}(x)\,dx]$$

$$\lim _{n\to +\infty }[\int _{0}^{10}f_{n}(x)\,dx]$$

è uguale all'integrale del limite, e quindi a

$$\int _{0}^{10}f(x)\,dx=0$$

$$\int _{0}^{10}f(x)\,dx=0$$

essendo l'integrale della funzione nulla.

Convergenza della serie:

$$\sum {\frac {\arctan(|x|^{n})}{n}}$$

$$\sum {\frac {\arctan(|x|^{n})}{n}}$$

è una serie a termini positivi.

Suddividiamo l'esercizio in tre casi:

1. Se $|x|=1$$|x|=1$, allora $|x|^{n}=1\forall n$$|x|^{n}=1\forall n$ e si ha:
   $$s_{n}=\sum \arctan 1*1/n=\sum {\frac {\pi }{4n}}$$

   $$s_{n}=\sum \arctan 1*1/n=\sum {\frac {\pi }{4n}}$$
   e ha lo stesso carattere della serie armonica che non converge.La serie non converge nemmeno in $x=-1$$x=-1$.
2. Supponiamo che $|x|\geq 1$$|x|\geq 1$, allora $|x|^{n}\geq 1$$|x|^{n}\geq 1$, e siccome per $t>0$$t>0$$\arctan t$$\arctan t$ è una funzione crescente, si ha:
   $$\arctan |x|^{n}>\arctan 1>\pi /4$$

   $$\arctan |x|^{n}>\arctan 1>\pi /4$$
   Allora la serie che stiamo considerando è maggiore della serie $\sum {\frac {\pi }{4n}}$$\sum {\frac {\pi }{4n}}$ che non converge, e quindi per il criterio del confronto non c'è convergenza puntuale nemmeno per $|x|>1$$|x|>1$.
3. Nel caso $|x|<1$$|x|<1$, usiamo il criterio della radice $n$$n$-esima.
   $$L=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=$$

   $$L=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=$$
   $$=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{\arctan |x|^{n}*1/n}}=$$

   $$=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{\arctan |x|^{n}*1/n}}=$$
   Siccome $|x|<1$$|x|<1$, $|x|^{n}$$|x|^{n}$ tende a 0, e allora l'arcotangente è asintotica al suo argomento, quindi
   $$=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{|x|^{n}}}*{\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}=|x|<1$$

   $$=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{|x|^{n}}}*{\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}=|x|<1$$
   allora la serie converge puntualmente per il criterio della radice, per $|x|<1$$|x|<1$.

Commento: Dimostriamo che

$$\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{n}}=n^{1/n}=1$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{n}}=n^{1/n}=1$$

$${\sqrt[{n}]{n}}=e^{\log {\sqrt[{n}]{n}}}=e^{1/n*\log n}$$

$${\sqrt[{n}]{n}}=e^{\log {\sqrt[{n}]{n}}}=e^{1/n*\log n}$$

e

$$\lim _{n\to \infty }e^{\frac {\log n}{n}}=e^{0}=1$$

$$\lim _{n\to \infty }e^{\frac {\log n}{n}}=e^{0}=1$$

Convergenza totale della serie: Studio la convergenza totale cioè, verifico che la serie

$$\sum [\sup _{x\in (-1,1)}\arctan |x|^{n}*1/n]$$

$$\sum [\sup _{x\in (-1,1)}\arctan |x|^{n}*1/n]$$

converge.

Non c'è convergenza totale, infatti l'arcotangente è crescente, e quindi per $|x|<1$$|x|<1$ il sup è ${\frac {\pi }{4n}}$${\frac {\pi }{4n}}$ e ottengo quindi una serie non convergente.

Però c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo $(-a,a)$$(-a,a)$ con $0<a<1$$0<a<1$. Infatti, siccome l'arcotangente è crescente in $(0,1)$$(0,1)$, essa assume il sup in $x=a$$x=a$ nell'intervallo $(-a,a)$$(-a,a)$, allora

$$\sum [\sup _{x\in (-a,a)}{\frac {\arctan |x^{n}|}{n}}]=\sum {\frac {\arctan |a|^{n}}{n}}$$

$$\sum [\sup _{x\in (-a,a)}{\frac {\arctan |x^{n}|}{n}}]=\sum {\frac {\arctan |a|^{n}}{n}}$$

e allora applicando il criterio della radice come nel caso sopra, siccome $a^{n}<1$$a^{n}<1$ la serie converge.

Esercizio 13.3

Considerare la serie

$$\sum {\frac {(n!)^{x}}{(2n)!}}$$

$$\sum {\frac {(n!)^{x}}{(2n)!}}$$

1. Studiare la convergenza puntuale.
2. Studiare la convergenza totale della serie.

 

Convergenza puntuale: Ho una serie a termini positivi, uso il criterio del rapporto e considero il limite:

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {((n+1)!)^{x}}{2(n+1)!}}*{\frac {(2n)!}{(n!)^{x}}}$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {((n+1)!)^{x}}{2(n+1)!}}*{\frac {(2n)!}{(n!)^{x}}}$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {[n!(n+1)]^{x}}{(2n+2)(2n+1)*(2n)!}}*{\frac {(2n)!}{(n!)^{x}}}$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {[n!(n+1)]^{x}}{(2n+2)(2n+1)*(2n)!}}*{\frac {(2n)!}{(n!)^{x}}}$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x}}{(2n+2)(2n+1)}}=$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x}}{(2n+2)(2n+1)}}=$$

Osservo che $2n+2=2(n+1)$$2n+2=2(n+1)$ quindi

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x-1}}{2(2n+1)}}=$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x-1}}{2(2n+1)}}=$$

Considero i tre casi seguenti:

1. Se $x=2$$x=2$, la serie converge, infatti l'esponente vale 1 e si ottiene:
   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n+1}{2(2n+1)}}=1/4<1$$

   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n+1}{2(2n+1)}}=1/4<1$$
2. Se $x>2$$x>2$ la serie non converge, infatti
   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x-1}}{2(2n+1)}}$$

   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)^{x-1}}{2(2n+1)}}$$
   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n^{x-1}}{4n}}={\frac {n^{x-2}}{4}}=+\infty >1$$

   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n^{x-1}}{4n}}={\frac {n^{x-2}}{4}}=+\infty >1$$
3. Per $x<2$$x<2$ si ha convergenza, infatti
   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n^{x-1}}{4n}}={\frac {n^{x-2}}{4}}=0<1$$

   $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {n^{x-1}}{4n}}={\frac {n^{x-2}}{4}}=0<1$$

Per concludere, la serie converge puntualmente nell'insieme $\{x\leq 2\}$$\{x\leq 2\}$.

Convergenza totale: si può avere convergenza uniforme in sottoinsiemi di $\{x\leq 2\}$$\{x\leq 2\}$.

$$\sum _{n=0}^{+\infty }[\sup _{x\leq 2}{\frac {(n!)^{x}}{(2n)!}}]$$

$$\sum _{n=0}^{+\infty }[\sup _{x\leq 2}{\frac {(n!)^{x}}{(2n)!}}]$$

Osservo che $(n!)^{x}$$(n!)^{x}$ assume il suo sup in $x=2$$x=2$ perché $n!\geq 1$$n!\geq 1$, quindi $(n!)^{x}$$(n!)^{x}$ è una funzione crescente in $x$$x$. Di conseguenza la serie delle norme è

$$\sum _{n}{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}$$

$$\sum _{n}{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}$$

e da quanto detto prima la serie converge (criterio del rapporto, limite $1/4$$1/4$). Quindi la serie converge totalmente e uniformemente in $\{x\leq 2\}$$\{x\leq 2\}$.

Esercizio 13.4

Considerare la serie:

$$\sum _{n=2}^{\infty }[{\frac {1}{2n}}\log(1+n^{2}x^{2})-{\frac {1}{2*(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})]$$

$$\sum _{n=2}^{\infty }[{\frac {1}{2n}}\log(1+n^{2}x^{2})-{\frac {1}{2*(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})]$$

(si nota subito che la serie è telescopica con termine generale $f_{n}(x)=g_{n}(x)+g_{n+1}(x)$$f_{n}(x)=g_{n}(x)+g_{n+1}(x)$, con $g_{n}(x)={\frac {1}{2n}}\log(1+n^{2}x^{2})$$g_{n}(x)={\frac {1}{2n}}\log(1+n^{2}x^{2})$) Dimostrare che questa serie è derivabile termine a termine, anche se la serie delle derivate non converge uniformemente.

 

Convergenza puntuale:

Consideriamo la successione

$$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)=\sum _{k=1}^{n}g_{k}(x)-g_{k+1}(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)+g_{2}(x)-g_{3}(x)+g_{3}(x9+\dots +g_{k}(x)-g_{k+1}(x)=g_{1}(x)-g_{k+1}(x)$$

$$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)=\sum _{k=1}^{n}g_{k}(x)-g_{k+1}(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)+g_{2}(x)-g_{3}(x)+g_{3}(x9+\dots +g_{k}(x)-g_{k+1}(x)=g_{1}(x)-g_{k+1}(x)$$

Allora la ridotta $n$$n$-esima della serie si può scrivere esplicitamente come:

$$s_{n}(x)=1/2*\log(1+x^{2})-{\frac {1}{2(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})$$

$$s_{n}(x)=1/2*\log(1+x^{2})-{\frac {1}{2(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})$$

$1/2*\log(1+x^{2})$$1/2*\log(1+x^{2})$ è una costante. Allora calcolo

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})=$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2(n+1)}}*\log(1+(n+1)^{2}x^{2})=$$

Se $x=0$$x=0$, $g_{n}(0)=0\forall n$$g_{n}(0)=0\forall n$. Se $x\neq 0$$x \neq 0$, $x^{2}\geq 0$$x^{2}\geq 0$, allora $n^{2}x^{2}\to +\infty$$n^{2}x^{2}\to +\infty$, ma il denominatore prevale, perché c'è una quantità lineare che tende a infinito, mentre il numeratore ha ordine logaritmico, allora il limite vale 0. Quindi la successione delle ridotte $n$$n$-esime converge puntualmente alla funzione limite $1/2\log(1+x^{2})$$1/2\log(1+x^{2})$.

Serie delle derivate: La somma della serie $S(x)$$S(x)$ è derivabile, e

$$S'(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$$

$$S'(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$$

Invece la serie delle derivate è

$$\sum _{n=1}^{+\infty }S_{n}'(x)=$$

$$\sum _{n=1}^{+\infty }S_{n}'(x)=$$

$$=\sum _{n}{\frac {1}{2n*(1+n^{2}x^{2})}}*2n^{2}x-{\frac {2*(n+1)^{2}x}{2*(n+1)(1+(n+1)^{2}x^{2})}}$$

$$=\sum _{n}{\frac {1}{2n*(1+n^{2}x^{2})}}*2n^{2}x-{\frac {2*(n+1)^{2}x}{2*(n+1)(1+(n+1)^{2}x^{2})}}$$

$$=\sum {\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}-{\frac {(n+1)x}{(1+(n+1)^{2}x^{2})}}$$

$$=\sum {\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}-{\frac {(n+1)x}{(1+(n+1)^{2}x^{2})}}$$

e ottengo nuovamente una serie telescopica con termine $n$$n$-esimo $h_{n}(x)-h_{n+1}(x)$$h_{n}(x)-h_{n+1}(x)$, $h_{n}(x)={\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}$$h_{n}(x)={\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}$. Allora si può esplicitare la somma della successione delle ridotte $n$$n$-esime $U_{n}(x)$$U_{n}(x)$.

$$U_{n}(x)=h_{1}(x)-h_{n+1}(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}-{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}$$

$$U_{n}(x)=h_{1}(x)-h_{n+1}(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}-{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}$$

Per studiare la convergenza puntuale, calcolo:

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}$$

Per $x=0$$x=0$ il limite vale 0, perché $h_{n+1}(x)=0$$h_{n+1}(x)=0$. Se $x\neq 0$$x \neq 0$ ottengo

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{(n+1)x}}=0$$

$$\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{(n+1)x}}=0$$

e la serie converge puntualmente a $g={\frac {x}{1+x^{2}}}$$g={\frac {x}{1+x^{2}}}$, che è la derivata della somma della serie originaria.

Convergenza uniforme della somma della serie delle derivate:

Bisogna verificare che la serie delle derivate non converge uniformemente, cioè che

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|u(x)-s_{n}'(x)|\geq \varepsilon$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|u(x)-s_{n}'(x)|\geq \varepsilon$$

Siccome $s_{n}'(x)$$s_{n}'(x)$ converge a ${\frac {x}{1+x^{2}}}$${\frac {x}{1+x^{2}}}$ basta valutare

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\frac {(n+1)*x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}|$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\frac {(n+1)*x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}|$$

Siccome dobbiamo dimostrare che la serie non converge uniformemente, cerchiamo una minorante di questa quantità:

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|s_{n}'(x)-u'(x)|\geq \sup _{x\in \mathbb {R} }|{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}|\geq |{\frac {(n+1){\bar {x}}}{1+(n+1)^{2}({\bar {x}})^{2}}}|\forall {\bar {x}}\in \mathbb {R}$$

$$\sup _{x\in \mathbb {R} }|s_{n}'(x)-u'(x)|\geq \sup _{x\in \mathbb {R} }|{\frac {(n+1)x}{1+(n+1)^{2}x^{2}}}|\geq |{\frac {(n+1){\bar {x}}}{1+(n+1)^{2}({\bar {x}})^{2}}}|\forall {\bar {x}}\in \mathbb {R}$$

Quindi scelgo un ${\bar {x}}$$\bar x$ qualsiasi: ad esempio, per ${\bar {x}}={\frac {1}{n+1}}$${\bar {x}}={\frac {1}{n+1}}$ l'estremo superiore del resto $n$$n$-esimo è $\geq 1/2$$\geq 1/2$, e non tende a 0 e quindi non c'è convergenza uniforme.

Esercizio 13.5

Si determinino gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$, dove $f_{n}:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R}$$f_{n}:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R}$, $f_{n}(x)=(\sin x)^{n+1}(\cos x)^{-n}$$f_{n}(x)=(\sin x)^{n+1}(\cos x)^{-n}$.

 

Convergenza puntuale: osservo che

$$\sum _{n}f_{n}(x)=\sum _{n}\sin x*{\frac {(\sin x)^{n}}{(\cos x)^{n}}}=\sum _{n}\sin x*(\tan x)^{n}$$

$$\sum _{n}f_{n}(x)=\sum _{n}\sin x*{\frac {(\sin x)^{n}}{(\cos x)^{n}}}=\sum _{n}\sin x*(\tan x)^{n}$$

Per $-\pi /4<x<\pi /4$$-\pi /4<x<\pi /4$ si ha $\tan x<1$$\tan x<1$, e ottengo la serie geometrica di ragione minore di $1$$1$, che converge. Al di fuori di questo intervallo non si ha convergenza puntuale.

Studio la convergenza uniforme in sottointervalli $[-a,a]$$[-a,a]$ contenuti in $(-\pi /4,\pi /4)$$(-\pi /4,\pi /4)$. In questo caso è applicabile il criterio di Weierstrass, perché per ogni $x\in [-a,a]$$x\in [-a,a]$, il termine generale della serie è minorato dalla serie numerica $\sin a*(\tan a)^{n}$$\sin a*(\tan a)^{n}$, che converge essendo la serie geometrica di ragione $\tan a<1$$\tan a<1$ per $a<\pi /4$$a<\pi /4$. Allora si ha convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo $[-a,a]$$[-a,a]$ con $a<\pi /4$$a<\pi /4$.