Moltiplicatori di Lagrange Il vincolo è dato da: a = x + y + z , x > 0 , y > 0 , z > 0 {\displaystyle a=x+y+z,\,x>0,y>0,z>0} e devo calcolare il massimo della funzione: f = x y z {\displaystyle f=xyz} Cerco punti stazionari della funzione: G ( x , y , z , λ ) = x y z + λ ( x + y + z − a ) {\displaystyle G(x,y,z,\lambda )=xyz+\lambda (x+y+z-a)} Risolvo il sistema: { g x = y z + λ = 0 g y = x z + λ = 0 g z = x y + λ = 0 g λ = x + y + z − a = 0 {\displaystyle {\begin{cases}g_{x}=yz+\lambda =0\\g_{y}=xz+\lambda =0\\g_{z}=xy+\lambda =0\\g_{\lambda }=x+y+z-a=0\end{cases}}} Se ( x , y , z ) ≠ 0 {\displaystyle (x,y,z)\neq 0} : { λ = − 1 y z λ = − 1 x z λ = − 1 x y x + y + z − a = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\lambda ={\frac {-1}{yz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xy}}\\x+y+z-a=0\end{cases}}} Eguagliando la prima e la seconda equazione: 1 y z = 1 x z {\displaystyle {\frac {1}{yz}}={\frac {1}{xz}}} cioè 1 y = 1 x {\displaystyle {\frac {1}{y}}={\frac {1}{x}}} e quindi x = y {\displaystyle x=y} . Analogamente si ricava y = z {\displaystyle y=z} , quindi x = y = z {\displaystyle x=y=z} . Siccome si ha: x y z = a {\displaystyle xyz=a} si ha x = y = z = a 3 {\displaystyle x=y=z={\sqrt[{3}]{a}}}