Moltiplicatori di Lagrange

Il vincolo è dato da:

$$a=x+y+z,\,x>0,y>0,z>0$$

$$a=x+y+z,\,x>0,y>0,z>0$$

e devo calcolare il massimo della funzione:

$$f=xyz$$

$$f=xyz$$

Cerco punti stazionari della funzione:

$$G(x,y,z,\lambda )=xyz+\lambda (x+y+z-a)$$

$$G(x,y,z,\lambda )=xyz+\lambda (x+y+z-a)$$

Risolvo il sistema:

$${\begin{cases}g_{x}=yz+\lambda =0\\g_{y}=xz+\lambda =0\\g_{z}=xy+\lambda =0\\g_{\lambda }=x+y+z-a=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}g_{x}=yz+\lambda =0\\g_{y}=xz+\lambda =0\\g_{z}=xy+\lambda =0\\g_{\lambda }=x+y+z-a=0\end{cases}}$$

Se $(x,y,z)\neq 0$$(x,y,z)\neq 0$:

$${\begin{cases}\lambda ={\frac {-1}{yz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xy}}\\x+y+z-a=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}\lambda ={\frac {-1}{yz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xz}}\\\lambda ={\frac {-1}{xy}}\\x+y+z-a=0\end{cases}}$$

Eguagliando la prima e la seconda equazione:

$${\frac {1}{yz}}={\frac {1}{xz}}$$

$${\frac {1}{yz}}={\frac {1}{xz}}$$

cioè

$${\frac {1}{y}}={\frac {1}{x}}$$

$${\frac {1}{y}}={\frac {1}{x}}$$

e quindi $x=y$$x=y$. Analogamente si ricava $y=z$$y=z$, quindi $x=y=z$$x=y=z$.

Siccome si ha:

$$xyz=a$$

$$xyz=a$$

si ha

$$x=y=z={\sqrt[{3}]{a}}$$

$$x=y=z={\sqrt[{3}]{a}}$$