Calcolo di limiti

Esercizio 1.1

Calcolare

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{6}}}.$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{6}}}.$$

 

Riscrivo il limite come

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}*y^{2}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}*y^{2}=$$

Il primo fattore, ${\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}$${\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}$ è $\leq 1$$\leq 1$, quindi in modulo ${\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}*y^{2}$${\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{6}}}*y^{2}$ è minore di $|y^{2}|$$|y^{2}|$. Siccome $\lim _{(x,y)\to (0,0)}|y^{2}|=0$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}|y^{2}|=0$ allora per il teorema del confronto il limite di partenza esiste e vale 0.

Esercizio 1.2

Calcolare

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$$

con

$$f(x,y)={\frac {x^{2}y^{2}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}.$$

$$f(x,y)={\frac {x^{2}y^{2}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}.$$

 

L'origine, in cui il seno al denominatore si annulla, è un punto di accumulazione del dominio della funzione.

Devo risolvere la forma indeterminata $[0/0]$$[0/0]$: ricordando che

$$\lim _{t\to 0}{\frac {t}{\sin t}}=1$$

$$\lim _{t\to 0}{\frac {t}{\sin t}}=1$$

moltiplico e divido $f(x,y)$$f(x,y)$ per $x^{4}+y^{4}$$x^{4}+y^{4}$:

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}}*{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}}*{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=$$

Il secondo fattore, per il limite notevole scritto sopra, tende a 1. Rimane quindi da calcolare

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}}=$$

Calcolo il limite lungo due curve differenti. Osservo che lungo la curva $y=0$$y=0$ si ha:

$$lim_{x\to 0}f(x,0)=0$$

$$lim_{x\to 0}f(x,0)=0$$

invece lungo la curva $y=x$$y=x$ si ha

$$\lim _{x\to 0}f(x,x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{4}}{x^{4}+x^{4}}}=1/2$$

$$\lim _{x\to 0}f(x,x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{4}}{x^{4}+x^{4}}}=1/2$$

Siccome il limite assume valori diversi sulle due curve considerate, in bsae al teorema enunciato precedentemente il limite non esiste.

Osservazione 1.1

Dimostro nel dettaglio che

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=1$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=1$$

Parto dal presupposto che $x^{4}+y^{4}\to 0$$x^{4}+y^{4}\to 0$ se $(x,y)\to 0$$(x,y)\to 0$, allora per definizione

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )\,t.c.|(x,y)|<\delta \,\longrightarrow \,x^{4}+y^{4}<\varepsilon \quad {\hbox{formula 1}}$$

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )\,t.c.|(x,y)|<\delta \,\longrightarrow \,x^{4}+y^{4}<\varepsilon \quad {\hbox{formula 1}}$$

Inoltre per il limite notevole

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta '>0t.c.\,|t|<\delta '\longrightarrow |{\frac {t}{\sin t}}-1|<\varepsilon \quad {\hbox{formula 2}}$$

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta '>0t.c.\,|t|<\delta '\longrightarrow |{\frac {t}{\sin t}}-1|<\varepsilon \quad {\hbox{formula 2}}$$

Allora

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta '{\text{come nella formula 2}}\quad t.c.\quad \forall |(x,y)|<\delta (\delta ')\,|x^{4}+y^{4}|<\delta ',{\hbox{allora}}$$

$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta '{\text{come nella formula 2}}\quad t.c.\quad \forall |(x,y)|<\delta (\delta ')\,|x^{4}+y^{4}|<\delta ',{\hbox{allora}}$$

$$|{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}-1|<\varepsilon$$

$$|{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}-1|<\varepsilon$$

Allora

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=1$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}+y^{4}}{\sin(x^{4}+y^{4})}}=1$$

 

Esercizio 1.3

Calcolare

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {1-\cos(xy)}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}.$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {1-\cos(xy)}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}.$$

 

Anche in questo caso devo risolvere la forma di indecisione $[0/0]$$[0/0]$. Possiamo usare il metodo dell'esercizio precedente scrivendo

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {1-\cos(xy)}{x^{2}y^{2}}}*{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {1-\cos(xy)}{x^{2}y^{2}}}*{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

Siccome

$$\lim _{t\to 0}{\frac {1-\cos t}{t^{2}}}=1/2$$

$$\lim _{t\to 0}{\frac {1-\cos t}{t^{2}}}=1/2$$

Si può dimostrare che

$${\frac {1-\cos(xy)}{y^{2}}}\to 1/2\iff (x,y)\to (0,0)$$

$${\frac {1-\cos(xy)}{y^{2}}}\to 1/2\iff (x,y)\to (0,0)$$

Allora il primo fattore vale $1/2$$1/2$ e si calcola:

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

Siccome

$$\lim _{t\to 0}{\frac {\log(1+t)}{t}}=1$$

$$\lim _{t\to 0}{\frac {\log(1+t)}{t}}=1$$

si ha

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {\log(1+x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}=1$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {\log(1+x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}=1$$

Allora:

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{\log(1+x^{2}+y^{2})}}=$$

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=$$

$$1/2*\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}*y^{2}\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}y^{2}/2=0$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}*y^{2}\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}y^{2}/2=0$$

Allora il limite di partenza tende a 0.
Per esercizio, calcolo quest'ultimo limite anche in coordinate polari.

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=$$

$$=\lim _{\rho \to 0}{\frac {\rho ^{4}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

$$=\lim _{\rho \to 0}{\frac {\rho ^{4}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {\rho ^{4}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}=$$

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {\rho ^{4}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}=$$

$$\lim _{\rho \to 0}\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta =$$

$$\lim _{\rho \to 0}\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta =$$

Calcolo il limite uniformeme in $\theta$$\theta$. Considero

$$\sin ^{2}\theta \leq 1\quad \cos ^{2}\theta \leq 1\,\longrightarrow \,|\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta |\leq \rho ^{2}$$

$$\sin ^{2}\theta \leq 1\quad \cos ^{2}\theta \leq 1\,\longrightarrow \,|\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta |\leq \rho ^{2}$$

$$\sup _{\theta \in [0,2\pi ]}\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta \leq \rho ^{2}\quad \rho ^{2}\to 0\iff \rho \to 0$$

$$\sup _{\theta \in [0,2\pi ]}\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta \leq \rho ^{2}\quad \rho ^{2}\to 0\iff \rho \to 0$$

e si ottiene lo stesso risultato di prima.

Esercizio 1.4

Sia $\alpha \geq 0$$\alpha \ge 0$. Calcolare

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {(x^{2}+y^{4})^{\alpha }}{x^{4}+y^{2}}}.$$

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {(x^{2}+y^{4})^{\alpha }}{x^{4}+y^{2}}}.$$

 

Ho una forma indeterminata. Provo a calcolare il limite lungo direzioni fissate (il limite lungo queste curve dipende dal valore di $\alpha$$\alpha$). Prendo prima la curva $y=0$$y=0$, e ottengo

$$L=\lim _{x\to 0}f(x,0)=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2\alpha }}{x^{4}}}=\lim _{x\to 0}x^{2\alpha -4}$$

$$L=\lim _{x\to 0}f(x,0)=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2\alpha }}{x^{4}}}=\lim _{x\to 0}x^{2\alpha -4}$$

Allora

$$\alpha >2\,\longrightarrow \,2\alpha -4\geq 0\,\longrightarrow L=0$$

$$\alpha >2\,\longrightarrow \,2\alpha -4\geq 0\,\longrightarrow L=0$$

$$\alpha =2\,\longrightarrow \,2\alpha -4=0\,\longrightarrow \,L=1$$

$$\alpha =2\,\longrightarrow \,2\alpha -4=0\,\longrightarrow \,L=1$$

$$\alpha <2\,\longrightarrow \,2\alpha -4<0\,\longrightarrow \,L=\infty$$

$$\alpha <2\,\longrightarrow \,2\alpha -4<0\,\longrightarrow \,L=\infty$$

Prendiamo un'altra curva e vediamo se i valori dei limiti coincidono. Considero la curva $x=0$$x=0$:

$$L=\lim _{y\to 0}f(0,y)=\lim _{y\to 0}{\frac {y^{4\alpha }}{y^{2}}}=$$

$$L=\lim _{y\to 0}f(0,y)=\lim _{y\to 0}{\frac {y^{4\alpha }}{y^{2}}}=$$

$$\lim _{y\to 0}y^{4\alpha -2}=(y^{2})^{2\alpha -1}$$

$$\lim _{y\to 0}y^{4\alpha -2}=(y^{2})^{2\alpha -1}$$

$$\alpha >1/2\,\longrightarrow \,L=0$$

$$\alpha >1/2\,\longrightarrow \,L=0$$

$$\alpha =1/2\,\longrightarrow \,L=1$$

$$\alpha =1/2\,\longrightarrow \,L=1$$

$$\alpha <1/2\,\longrightarrow \,L=\infty$$

$$\alpha <1/2\,\longrightarrow \,L=\infty$$

Confronto i due risultati ottenuti, riassunti nella tabella.

$${\begin{array}{ccc}{\hbox{valore di }}\alpha &{\hbox{limite lungo}}y=0&{\hbox{limite lungo}}x=0\\\alpha >2&0&0\\\alpha =2&1&0\\1/2\alpha <2&\infty &0\\\alpha =1/2&\infty &1\\\alpha <1/2&\infty &\infty \end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}{\hbox{valore di }}\alpha &{\hbox{limite lungo}}y=0&{\hbox{limite lungo}}x=0\\\alpha >2&0&0\\\alpha =2&1&0\\1/2\alpha <2&\infty &0\\\alpha =1/2&\infty &1\\\alpha <1/2&\infty &\infty \end{array}}$$

Il limite potrebbe esistere solo quando in entrambi i casi ha lo stesso valore, e quindi quando $\alpha >2$$\alpha >2$ oppure $\alpha <1/2$$\alpha <1/2$.
Caso 1: $\alpha >2$$\alpha >2$. Calcolo il limite in coordinate polari per $\alpha >2$$\alpha >2$.

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

e il limite deve valere 0 uniformemente in $\theta$$\theta$.
Considero

$$|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}$$

$$|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}$$

Raccolgo $\rho ^{2\alpha }$$\rho ^{2\alpha }$ al numeratore, mostro però che raccogliendo al denominatore $\rho ^{2}$$\rho ^{2}$ non si arriva a nessun risultato, infatti si trova:

$$\rho ^{2\alpha -2}|{\frac {(\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

$$\rho ^{2\alpha -2}|{\frac {(\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

e si ha un denominatore che dipende ancora da $\rho$$\rho$.
Siccome $\alpha >2$$\alpha >2$, per mostrare che il limite vale 0 devo dimostrare che

$$\sup _{\theta \in [0,2\pi ]}|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}|$$

$$\sup _{\theta \in [0,2\pi ]}|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}|$$

è una quantità limitata, ed è possibile maggiorarla con un'altra quantità che tende a 0. Chiamo $p$$p$ la quantità in modulo. Con $\rho <1$$\rho <1$, $\rho ^{2}>\rho ^{4}$$\rho ^{2}>\rho ^{4}$, inoltre $\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +c\geq \rho ^{4}\sin ^{2}\theta +c$$\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +c\geq \rho ^{4}\sin ^{2}\theta +c$. Quindi posso scrivere

$$p\leq {\frac {\rho ^{2\alpha }*[\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta ]^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{4}\sin ^{2}\theta }}$$

$$p\leq {\frac {\rho ^{2\alpha }*[\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta ]^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{4}\sin ^{2}\theta }}$$

Raccolgo $\rho ^{4}$$\rho ^{4}$: rispetto al raccoglimento precedente il denominatore non dipende da $\rho$$\rho$.

$$p\leq {\frac {\rho ^{2\alpha -4}*[\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta ]^{\alpha }}{\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

$$p\leq {\frac {\rho ^{2\alpha -4}*[\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta ]^{\alpha }}{\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

Posso maggiorare il numeratore in questo modo:

$$(\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }\leq (1+1)^{\alpha }=2^{\alpha }$$

$$(\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }\leq (1+1)^{\alpha }=2^{\alpha }$$

Il denominatore $\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta$$\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta$ è sempre maggiore di una costante positiva perché seno e coseno non si annullano simultaneamente.

Quindi

$$p\leq \rho ^{2\alpha -4}{\frac {2^{\alpha }}{c}}\forall \theta \quad \alpha >2$$

$$p\leq \rho ^{2\alpha -4}{\frac {2^{\alpha }}{c}}\forall \theta \quad \alpha >2$$

e il sup è maggiorato da una quantità che tende a 0, allora il limite esiste e fa 0.

Caso 2: $\alpha <1/2$$\alpha <1/2$

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

$$\lim _{\rho \to 0}{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=$$

Ora bisogna dimostrare che il limite uniforme in $\theta$$\theta$ è $+\infty$$+\infty$ per $\rho \to 0$$\rho \to 0$, e questo avviene se l'estremo inferiore di $p$$p$ al variare di $\theta$$\theta$ in $[0,2\pi ]$$[0,2\pi]$ è maggiore o uguale di $M$$M$.

Considero quindi

$$\inf _{\theta \in [0,2\pi ]}|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}$$

$$\inf _{\theta \in [0,2\pi ]}|{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}$$

siccome $\rho <1$$\rho <1$, allora $\rho ^{2}>\rho ^{4}$$\rho ^{2}>\rho ^{4}$. il denominatore $\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$$\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$ è minore di $\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )$$\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )$.

quindi

$$p>{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )}}$$

$$p>{\frac {(\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )}}$$

Siccome $\rho ^{4}<\rho ^{2}$$\rho ^{4}<\rho ^{2}$, posso scrivere

$$p>{\frac {(\rho ^{4}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )}}$$

$$p>{\frac {(\rho ^{4}\cos ^{2}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\rho ^{2}(\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta )}}$$

allora raccolgo $\rho ^{4\alpha }$$\rho ^{4\alpha }$ al numeratore e $\rho ^{2}$$\rho ^{2}$ al denominatore:

$$p>\rho ^{4\alpha -2}*{\frac {(\cos ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

$$p>\rho ^{4\alpha -2}*{\frac {(\cos ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta )^{\alpha }}{\cos ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta }}$$

$$p>\rho ^{4\alpha -2}*C\quad C\neq 0$$

$$p>\rho ^{4\alpha -2}*C\quad C\neq 0$$

$\alpha <1/2$$\alpha <1/2$, la quantità che dipende da $\theta$$\theta$ è maggiore o uguale da una costante positiva, e $\rho ^{4\alpha -2}\to +\infty$$\rho ^{4\alpha -2}\to +\infty$

Allora anche in questo caso il limite esiste.

Esercizio 1.5

Calcolare

$$\lim _{\vert x,y\vert \to +\infty }x^{4}+y^{4}-xy.$$

$$\lim _{\vert x,y\vert \to +\infty }x^{4}+y^{4}-xy.$$

 

ho una forma indeterminata $+\infty -\infty$$+\infty -\infty$. Introduciamo le coordinate polari

$$f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )=\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta -\rho ^{2}\sin \theta \cos \theta$$

$$f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )=\rho ^{4}\cos ^{4}\theta +\rho ^{4}\sin ^{4}\theta -\rho ^{2}\sin \theta \cos \theta$$

Maggioro questa funzione con una funzione $\phi$$\phi$ che dipende da $\rho$$\rho$

$\cos ^{4}\theta +\sin ^{4}\theta$$\cos ^{4}\theta +\sin ^{4}\theta$ ha un minimo in $[0,2\pi ]$$[0,2\pi]$ essendo continua in un compatto. Il minimo è una costante sempre positiva perché la funzione è somma di funzioni positive che non si annullino mai contemporaneamente. Inoltre

$$|\sin \theta \cos \theta |\leq 1$$

$$|\sin \theta \cos \theta |\leq 1$$

Allora

$$f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\geq \rho ^{4}*c-\rho ^{2}$$

$$f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\geq \rho ^{4}*c-\rho ^{2}$$

che è una funzione dipendente solo da $\rho$$\rho$, che tende a $+\infty$$+\infty$ per $\rho \to +\infty$$\rho \to +\infty$. Allora il limite di partenza tende a $+\infty$$+\infty$.