Interali doppi con cambio di variabili

Consideriamo $I\subset \mathbb {R} ^{n}$$I\subset \mathbb {R} ^{n}$ limitato, e sia $T\colon D\to T(D)$$T\colon D\to T(D)$ un diffeomorfismo. Supponiamo di avere una funzione $f$$f$ integrabile su $T(D)$$T(D)$, allora si può applicare la seguente formula per il cambio di variabili:

$$\int _{T(D)}f(x)\,dx=\int _{D}f(T(x))|\det J_{T}(T^{-1}(x))|\,dx$$

$$\int _{T(D)}f(x)\,dx=\int _{D}f(T(x))|\det J_{T}(T^{-1}(x))|\,dx$$

In realtà, per applicare la formula, basta che $T$$T$ sia un diffeomorfismo tra $T\smallsetminus N_{1}$$T\smallsetminus N_{1}$ e $T_{D}\smallsetminus N_{2}$$T_{D}\smallsetminus N_{2}$ con $n_{1},n_{2}$$n_{1},n_{2}$ insiemi.

Esercizio 9.6

Si calcoli

$$\int _{E}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy,$$

$$\int _{E}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy,$$

dove $E=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ x^{2}+y^{2}\geq 4{\text{ e }}x^{2}+y^{2}-2x-2y\leq 0\}$$E=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ x^{2}+y^{2}\geq 4{\text{ e }}x^{2}+y^{2}-2x-2y\leq 0\}$.

 

Studio del dominio: in base all'equazione $x^{2}+y^{2}\geq 4$$x^{2}+y^{2}\geq 4$, i punti devono stare all'esterno della circonferenza di centro nell'origine e raggio 2. Considero poi l'equazione:

$$x^{2}+y^{2}-2x-2y\leq 0$$

$$x^{2}+y^{2}-2x-2y\leq 0$$

$$\longrightarrow \,x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1\leq 2$$

$$\longrightarrow \,x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1\leq 2$$

$$\longrightarrow \,(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\leq 2$$

$$\longrightarrow \,(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\leq 2$$

quindi i punti devono stare all'interno della circonferenza di raggio ${\sqrt {2}}$${\sqrt {2}}$ e centro in $(1,1)$$(1,1)$.

In questo caso, per semplificare il calcolo dell'integrale, conviene passare a coordinate polari con la trasformazione $T$$T$ tale che

$$(\rho ,\theta )\mapsto (\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ).$$

$$(\rho ,\theta )\mapsto (\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ).$$

Quindi ponendo $E=T(D)$$E=T(D)$, si ha:

$$D=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}\,t.c.\,\rho ^{2}\geq 4,\rho ^{2}-2\rho \cos \theta -2\rho \sin \theta \leq 0\}$$

$$D=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}\,t.c.\,\rho ^{2}\geq 4,\rho ^{2}-2\rho \cos \theta -2\rho \sin \theta \leq 0\}$$

$$\rho ^{2}\geq 4\longrightarrow \rho \leq -2\vee \rho \geq 2$$

$$\rho ^{2}\geq 4\longrightarrow \rho \leq -2\vee \rho \geq 2$$

Invece

$$\rho ^{2}-2\rho \cos \theta -2\rho \sin \theta \leq 0$$

$$\rho ^{2}-2\rho \cos \theta -2\rho \sin \theta \leq 0$$

$$\longrightarrow \rho \leq 2\cos \theta +2\sin \theta$$

$$\longrightarrow \rho \leq 2\cos \theta +2\sin \theta$$

Siccome il dominio sta nel primo quadrante $0<\theta <\pi /2$$0<\theta <\pi /2$.
Calcolo dell'integrale:

$$\int _{E}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy=$$

$$\int _{E}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy=$$

applicando la formula del cambio di variabili e aggiungendo il determinante jacobiano $\rho$$\rho$:

$$\int _{0}^{\pi /2}[\int _{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,{\frac {\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\rho d\rho ]\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{\pi /2}[\int _{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,{\frac {\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\rho d\rho ]\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{\pi /2}[\int _{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,\sin \theta d\rho ]\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{\pi /2}[\int _{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,\sin \theta d\rho ]\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{\pi /2}[-\rho \cos \theta ]_{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{\pi /2}[-\rho \cos \theta ]_{0}^{2\cos \theta +2\sin \theta }\,d\theta =$$

$$-\int _{0}^{\pi /2}2\cos \theta \sin \theta +2\sin ^{2}\theta \,d\theta =$$

$$-\int _{0}^{\pi /2}2\cos \theta \sin \theta +2\sin ^{2}\theta \,d\theta =$$

$$-\int _{0}^{\pi /2}\sin(2\theta )+(1-\cos(2\theta ))/2\,d\theta =$$

$$-\int _{0}^{\pi /2}\sin(2\theta )+(1-\cos(2\theta ))/2\,d\theta =$$

$$-[-1/2\cos(2\theta )+\theta /2-\sin(2\theta )/4]_{0}^{\pi /2}=$$

$$-[-1/2\cos(2\theta )+\theta /2-\sin(2\theta )/4]_{0}^{\pi /2}=$$

$$-1/2-\pi /4-1/2=-(1+\pi )/4$$

$$-1/2-\pi /4-1/2=-(1+\pi )/4$$

Esercizio 9.7

Si calcoli

$$\int _{E}(1+x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy,$$

$$\int _{E}(1+x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy,$$

dove $E=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:2x\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\}$$E=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:2x\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\}$.

 

Studio del dominio: Il dominio è racchiuso tra le circonferenze $x^{2}+y^{2}\leq 4$$x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $x^{2}+y^{2}\geq 2x$$x^{2}+y^{2}\geq 2x$. I punti di intersezione tra le due circonferenze si determinano risolvendo il sistema:

$${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4\\x^{2}+y^{2}=2x\end{cases}}$$

$${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4\\x^{2}+y^{2}=2x\end{cases}}$$

Sottraendo le due equazioni ottengo $2x=4$$2x=4$, quindi $x=2$$x=2$ e l'unico punto di intersezione è $(2,0)$$(2,0)$. Il dominio è simmetrico rispetto all'asse $x$$x$.

Calcolo dell'integrale: Considero l'integrale:

$$\int _{E}(1+x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy=$$

$$\int _{E}(1+x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy=$$

che si spezza come

$$\int _{E}1\,dx\,dy+\int _{E}x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy=$$

$$\int _{E}1\,dx\,dy+\int _{E}x^{2}ye^{x^{2}})\,dx\,dy=$$

Nel secondo addendo l'integranda è dispari rispetto a $y$$y$, e viene integrata su un dominio simmetrico rispetto a $y$$y$, allora l'integrale vale 0. Rimane da calcolare solo il primo pezzo:

$$\int _{E}1\,dx\,dy=$$

$$\int _{E}1\,dx\,dy=$$

In coordinate polari l'equazione che definisce il dominio diventa:

$$2\rho \cos \theta \leq \rho ^{2}\leq 4$$

$$2\rho \cos \theta \leq \rho ^{2}\leq 4$$

Quindi $\rho ^{2}\leq 4\,\longrightarrow \,\rho \leq 2$$\rho ^{2}\leq 4\,\longrightarrow \,\rho \leq 2$, mentre $2\rho \cos \theta \leq \rho ^{2}$$2\rho \cos \theta \leq \rho ^{2}$ implica $2\cos \theta \leq \rho$$2\cos \theta \leq \rho$, cioè $2\cos \theta \leq \rho \leq 2$$2\cos \theta \leq \rho \leq 2$. Inoltre

$$2\cos \theta \leq \rho \,\wedge \,\rho \leq 2\,\longrightarrow \,\cos \theta \leq 1,$$

$$2\cos \theta \leq \rho \,\wedge \,\rho \leq 2\,\longrightarrow \,\cos \theta \leq 1,$$

quindi $\theta$$\theta$ varia in $(0,2\pi )$$(0,2\pi )$ e calcolo l'integrale:

$$\int _{0}^{2\pi }[\int _{2\cos \theta }^{2}\rho \,d\rho \,d\theta ]=$$

$$\int _{0}^{2\pi }[\int _{2\cos \theta }^{2}\rho \,d\rho \,d\theta ]=$$

$$1/2\int _{0}^{2\pi }[\rho ^{2}]_{2\cos \theta }^{2}\,d\theta ]=$$

$$1/2\int _{0}^{2\pi }[\rho ^{2}]_{2\cos \theta }^{2}\,d\theta ]=$$

$$2\int _{0}^{2\pi }1-\cos ^{2}\theta \,d\theta =$$

$$2\int _{0}^{2\pi }1-\cos ^{2}\theta \,d\theta =$$

$$2\int _{0}^{2\pi }1-(1+\cos(2\theta ))/2\,d\theta =$$

$$2\int _{0}^{2\pi }1-(1+\cos(2\theta ))/2\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{2\pi }1+\cos(2\theta )\,d\theta =$$

$$\int _{0}^{2\pi }1+\cos(2\theta )\,d\theta =$$

$$=[\theta +1/2\sin(2\theta )]_{0}^{2\pi }=2\pi$$

$$=[\theta +1/2\sin(2\theta )]_{0}^{2\pi }=2\pi$$

Esercizio 9.8

Calcolare l'integrale doppio

$$\int _{D}{\frac {x^{2}-2y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy$$

$$\int _{D}{\frac {x^{2}-2y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy$$

sull'insieme $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ 4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ 4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$.

 

Studio del dominio: Il dominio è una corona circolare dove la circonferenza interna ha raggio $r=2$$r=2$ e quella esterna ha raggio $R=3$$R=3$, e passando a coordinate polari, integro sull'insieme

$$E=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}:\ 4\leq \rho ^{2}\leq 9\}.$$

$$E=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}:\ 4\leq \rho ^{2}\leq 9\}.$$

Quindi

$$\rho >0\,\wedge \,\rho ^{2}\leq 9\,\longrightarrow \,0\leq \rho \leq 3$$

$$\rho >0\,\wedge \,\rho ^{2}\leq 9\,\longrightarrow \,0\leq \rho \leq 3$$

$$\rho ^{2}\geq 4\,\longrightarrow \,\rho \geq 2$$

$$\rho ^{2}\geq 4\,\longrightarrow \,\rho \geq 2$$

quindi complessivamente

$$2\leq \rho \leq 3,\,0<\theta <2\pi$$

$$2\leq \rho \leq 3,\,0<\theta <2\pi$$

Calcolo dell'integrale: ricordando di aggiungere il determinante jacobiano $\det J_{t}=\rho$$\det J_{t}=\rho$:

$$\int _{D}{\frac {x^{2}-2y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy=$$

$$\int _{D}{\frac {x^{2}-2y}{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy=$$

$$=\int _{E}\rho {\frac {\rho ^{2}\cos ^{2}\theta -2\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\,d\theta \,d\rho$$

$$=\int _{E}\rho {\frac {\rho ^{2}\cos ^{2}\theta -2\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\,d\theta \,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}[\int _{0}^{2\pi }\rho {\frac {\rho ^{2}\cos ^{2}\theta -2\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\,d\theta ]\,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}[\int _{0}^{2\pi }\rho {\frac {\rho ^{2}\cos ^{2}\theta -2\rho \sin \theta }{\rho ^{2}}}\,d\theta ]\,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}[\int _{0}^{2\pi }\rho \cos ^{2}\theta -2\sin \theta \,d\theta ]\,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}[\int _{0}^{2\pi }\rho \cos ^{2}\theta -2\sin \theta \,d\theta ]\,d\rho$$

Cerco una primitiva di $\cos ^{2}\theta$$\cos ^{2}\theta$:

$$\int \cos ^{2}\theta \,d\theta =\int (1+\cos(2\theta ))/2\,d\theta =\theta /2+1/4*\sin 2\theta$$

$$\int \cos ^{2}\theta \,d\theta =\int (1+\cos(2\theta ))/2\,d\theta =\theta /2+1/4*\sin 2\theta$$

e tornando all'integrale:

$$=\int _{2}^{3}[\rho (\theta /2+1/4*\sin(2\theta ))+2\cos \theta ]_{0}^{2\pi }\,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}[\rho (\theta /2+1/4*\sin(2\theta ))+2\cos \theta ]_{0}^{2\pi }\,d\rho$$

$$=\int _{2}^{3}\pi \rho \,d\rho =$$

$$=\int _{2}^{3}\pi \rho \,d\rho =$$

$$\pi [\rho ^{2}/2]_{2}^{3}=9\pi /2-4\pi /2=5\pi /2$$

$$\pi [\rho ^{2}/2]_{2}^{3}=9\pi /2-4\pi /2=5\pi /2$$

Esercizio 9.9

Calcolare

$$\int _{D}e^{\frac {x-y}{x+y}}\,dx\,dy$$

$$\int _{D}e^{\frac {x-y}{x+y}}\,dx\,dy$$

con

$$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,t.c.x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq 2\}$$

$$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,t.c.x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq 2\}$$

 

Il dominio di integrazione è un triangolo in cui $y\leq 2-x$$y\leq 2-x$.

Introduciamo un cambio di coordinate lineari. Poniamo $U=x-y$$U=x-y$ e $V=x+y$$V=x+y$.

Dobbiamo calcolare il determinante jacobiano della funzione che manda $(x,y)$$(x,y)$ in $(U,V)$$(U,V)$.

$${\begin{cases}x-y=U\\x+y=V\end{cases}}$$

$${\begin{cases}x-y=U\\x+y=V\end{cases}}$$

e sommando e sottraendo le due equazioni ottengo il sistema:

$${\begin{cases}U+V=2x\\V-U=2y\end{cases}}$$

$${\begin{cases}U+V=2x\\V-U=2y\end{cases}}$$

$$x=(V+U)/2,\quad Y=(V-U)/2$$

$$x=(V+U)/2,\quad Y=(V-U)/2$$

$$J_{T}={\begin{array}{cc}1/2&1/2\\-1/2&1/2\end{array}}$$

$$J_{T}={\begin{array}{cc}1/2&1/2\\-1/2&1/2\end{array}}$$

$$\det J_{T}=1/4+1/4=1/2\neq 0$$

$$\det J_{T}=1/4+1/4=1/2\neq 0$$

e siccome la trasformazione è lineare e $\det J_{T}\neq 0$$\det J_{T}\neq 0$, allora $T$$T$ è un diffeomorfismo. Riscrivendo le equazioni in termini di $U$$U$ e $V$$V$:

$$x\geq 0\,\longrightarrow \,U+V\geq 0$$

$$x\geq 0\,\longrightarrow \,U+V\geq 0$$

$$Y\geq 0\,\longrightarrow \,V-U\geq 0,$$

$$Y\geq 0\,\longrightarrow \,V-U\geq 0,$$

$$y+x\geq 2\,\longrightarrow \,(U+V)/2+(V-U)/2\leq 2\,\longrightarrow V\leq 2$$

$$y+x\geq 2\,\longrightarrow \,(U+V)/2+(V-U)/2\leq 2\,\longrightarrow V\leq 2$$

Nel piano $(U,V)$$(U,V)$, il dominio è sempre un triangolo, delimitato però dalla retta orizzontale $V<2$$V<2$ e dalle bisettrici.
Esprimendo $U$$U$ in funzione di $V$$V$, si ha $-V\leq U\leq V$$-V\leq U\leq V$ con $0\leq V\leq 2$$0\leq V\leq 2$, quindi calcolo l'integrale:

$$\int _{0}^{2}[\int _{-V}^{V}1/2e^{U/V}\,dU]\,dV$$

$$\int _{0}^{2}[\int _{-V}^{V}1/2e^{U/V}\,dU]\,dV$$

$$\int _{0}^{2}[1/2Ve^{U/V}]_{-V}^{V}\,dV$$

$$\int _{0}^{2}[1/2Ve^{U/V}]_{-V}^{V}\,dV$$

$$\int _{0}^{2}1/2V(e-1/e)\,dV$$

$$\int _{0}^{2}1/2V(e-1/e)\,dV$$

$$[1/4V^{2}(e-1/e)]_{0}^{2}=4*1/4*(e-1/e)=e-1/e$$

$$[1/4V^{2}(e-1/e)]_{0}^{2}=4*1/4*(e-1/e)=e-1/e$$