Richiami teorici

1. Definiamo forma differenziale lineare una funzione $\omega \colon E\to \mathbb {R}$$\omega \colon E\to \mathbb {R}$ del tipo:
   $$\omega =f_{1}(x,y,z)dx+f_{2}(x,y,z)dy+f_{3}(x,y,z)dz$$

   $$\omega =f_{1}(x,y,z)dx+f_{2}(x,y,z)dy+f_{3}(x,y,z)dz$$
   con $f_{1},f_{2},f_{3}$$f_{1},f_{2},f_{3}$ di classe $C^{1}$$C^1$.
2. Sia $\gamma$$\gamma$ una curva regolare parametrizzata come $(x(t),y(t),z(t))$$(x(t),y(t),z(t))$, e supponiamo che $\gamma ^{\ast }\subset E$$\gamma ^{\ast }\subset E$. Si definisce
   $$\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}f_{1}(x(t),y(t),z(t))*x'(t)+f_{2}(x(t),y(t),z(t))*y'(t)+f_{3}(x(t),y(t),z(t))z'(t)\,dt$$

   $$\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}f_{1}(x(t),y(t),z(t))*x'(t)+f_{2}(x(t),y(t),z(t))*y'(t)+f_{3}(x(t),y(t),z(t))z'(t)\,dt$$
3. $\omega$$\omega$ si dice esatta in $E$$E$ se esiste una funzione $\phi \in C^{2}(E)$$\phi \in C^{2}(E)$ tale che:
   $$d\phi =\omega$$

   $$d\phi =\omega$$
4. Vale il seguente teorema: Sia $\omega$$\omega$ di classe $C^{1}(E)$$C^{1}(E)$ con $E$$E$ aperto connesso, allora:#*se $\omega$$\omega$ è esatta, cioè $\omega =d\phi$$\omega =d\phi$ per una certa $\phi$$\phi$ regolare, allora per ogni curva regolare (a tratti) $\gamma$$\gamma$ vale la formula:
   $$\int _{\gamma }\omega =\phi (r(b))-\phi (r(a))$$

   $$\int _{\gamma }\omega =\phi (r(b))-\phi (r(a))$$
   dove le equazioni parametriche della curva sono date da $r\colon (a,b)\to \mathbb {R} ^{3}$$r\colon (a,b)\to \mathbb {R} ^{3}$.#*$\omega$$\omega$ è esatta se e solo se per ogni curva chiusa regolare (a tratti) con sostegno contenuto in $E$$E$, si ha
   $$\int _{\gamma }\omega =0$$

   $$\int _{\gamma }\omega =0$$
5. $\omega$$\omega$ si dice chiusa se
   $${\begin{cases}{\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}{\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\end{cases}}$$
6. Centre data una forma differenziale nel piano, essa è chiusa se
   $${\frac {\partial g_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial g_{2}}{\partial x}}$$

   $${\frac {\partial g_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial g_{2}}{\partial x}}$$
7. Se $\omega$$\omega$ è chiusa in un insieme $E$$E$ stellato rispetto a un punto, allora $\omega$$\omega$ è esatta in $E$$E$.
8. Se $\omega$$\omega$ è esatta esistono tre metodi per determinarne una primitiva:;Metodo 1:si tiene conto che, siccome $\omega =d\phi$$\omega =d\phi$, si ha:
   $${\begin{cases}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=f_{1}\\{\frac {\partial \phi }{\partial y}}=f_{2}\\{\frac {\partial \phi }{\partial z}}=f_{3}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=f_{1}\\{\frac {\partial \phi }{\partial y}}=f_{2}\\{\frac {\partial \phi }{\partial z}}=f_{3}\end{cases}}$$
   e si risolve il sistema per derivazioni successive.;Secondo metodo:Supponiamo che esista un punto $(x_{0},y_{0},z_{0})\in E$$(x_{0},y_{0},z_{0})\in E$ tale che ogni punto $(x,y,z)$$(x,y,z)$ si possa connetteere ad $(x_{0},y_{0},z_{0})$$(x_0,y_0,z_0)$ percorrendo tre segmenti contenuti in $E$$E$ paralleli agli assi $\gamma _{x},\gamma _{y},\gamma _{z}$$\gamma _{x},\gamma _{y},\gamma _{z}$, allora una primitiva è data dalla formula:
   $$\phi (x,y,z)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(s,y_{0},z_{0})\,ds+\int _{y_{0}}^{y}f_{2}(x,t,z_{0})\,dt+\int _{z_{0}}^{z}f_{3}(x,y,u)\,du$$

   $$\phi (x,y,z)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(s,y_{0},z_{0})\,ds+\int _{y_{0}}^{y}f_{2}(x,t,z_{0})\,dt+\int _{z_{0}}^{z}f_{3}(x,y,u)\,du$$
   ;Terzo metodo:per definizione di insieme stellato esiste un punto che può essere collegato ad ogni altro punto dell'insieme attraverso un segmento parametrizzato come $(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$$(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$, allora una primitiva di $\omega$$\omega$ si calcola come:
   $$\phi (x,y,z)=\int _{a}^{b}f_{1}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})*\gamma _{1}'(t)+f_{2}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}),\gamma _{2}'(t)+f_{3}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})\gamma _{3}'(t)\,dt$$

   $$\phi (x,y,z)=\int _{a}^{b}f_{1}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})*\gamma _{1}'(t)+f_{2}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}),\gamma _{2}'(t)+f_{3}(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})\gamma _{3}'(t)\,dt$$