Equazioni differenziali miste

Esercizio 4.7

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

$$y'(x)=-{\frac {(1+y^{2}(x))^{2}}{2y(x)}}$$

$$y'(x)=-{\frac {(1+y^{2}(x))^{2}}{2y(x)}}$$

che passa per il punto $(1,1)$$(1,1)$, specificando qual e' il suo intervallo massimale di definizione.

 

Devo trovare la soluzione del problema di Cauchy:

$${\begin{cases}y'(x)=-{\frac {(1+y^{2}(x))^{2}}{2y(x)}}\\y(1)=1\end{cases}}$$

$${\begin{cases}y'(x)=-{\frac {(1+y^{2}(x))^{2}}{2y(x)}}\\y(1)=1\end{cases}}$$

E' un'equazione a variabili separabili, con $f(x)=1$$f(x)=1$.

$${\frac {y'(x)2y(x)}{(1+y^{2}(x))^{2}}}\,dy=-dx$$

$${\frac {y'(x)2y(x)}{(1+y^{2}(x))^{2}}}\,dy=-dx$$

$$\int {\frac {y'(x)2y(x)}{(1+y^{2}(x))^{2}}}\,dy=-\int dx$$

$$\int {\frac {y'(x)2y(x)}{(1+y^{2}(x))^{2}}}\,dy=-\int dx$$

$${\frac {1}{1+y^{2}(x)}}=x+C$$

$${\frac {1}{1+y^{2}(x)}}=x+C$$

$$1+y^{2}(x)=1/(x+C)$$

$$1+y^{2}(x)=1/(x+C)$$

$$y^{2}(x)={\frac {1}{x+C}}-1$$

$$y^{2}(x)={\frac {1}{x+C}}-1$$

$$y(x)=\pm {\sqrt {{\frac {1}{x+c}}-1}}$$

$$y(x)=\pm {\sqrt {{\frac {1}{x+c}}-1}}$$

definita per $x\neq -C$$x\neq -C$

$$y(1)=\pm {\sqrt {{\frac {1}{1+C}}-1}}=1$$

$$y(1)=\pm {\sqrt {{\frac {1}{1+C}}-1}}=1$$

$${\frac {1}{1+c}}-1=1$$

$${\frac {1}{1+c}}-1=1$$

$${\frac {1-2-2c}{1-c}}=0$$

$${\frac {1-2-2c}{1-c}}=0$$

$$2c=-1$$

$$2c=-1$$

$$c=-1/2$$

$$c=-1/2$$

$$y(x)={\sqrt {{\frac {1}{x-1/2}}-1}}$$

$$y(x)={\sqrt {{\frac {1}{x-1/2}}-1}}$$

Intervallo massimale di esistenza:

$$c.e.x\neq 1/2$$

$$c.e.x\neq 1/2$$

$${\frac {1}{x-1/2}}-1\geq 0$$

$${\frac {1}{x-1/2}}-1\geq 0$$

$${\frac {1-x+1/2}{x-1/2}}\geq 0$$

$${\frac {1-x+1/2}{x-1/2}}\geq 0$$

$$3/2-x\geq 0$$

$$3/2-x\geq 0$$

$$x\leq 3/2$$

$$x\leq 3/2$$

$$1/2\leq x\leq 3/2$$

$$1/2\leq x\leq 3/2$$

Esercizio 4.8

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

$$y'(x)=1-(y(x)-x)(y(x)-x-2)$$

$$y'(x)=1-(y(x)-x)(y(x)-x-2)$$

che passa per il punto $(0,1)$$(0,1)$, specificando qual e' il suo intervallo massimale di definizione.

 

$$y'(x)=1-(y(x)-x)[(y(x)-x)-2]$$

$$y'(x)=1-(y(x)-x)[(y(x)-x)-2]$$

$$y'(x)-1=-(y(x)-x)^{2}+2(y(x)-x)$$

$$y'(x)-1=-(y(x)-x)^{2}+2(y(x)-x)$$

Pongo $K=y(x)-x$$K=y(x)-x$, quindi

$$K'=y'(x)-1=-K^{2}+2K$$

$$K'=y'(x)-1=-K^{2}+2K$$

$$K'=-K^{2}+2K$$

$$K'=-K^{2}+2K$$

Quest'equazione ha le soluzioni costanti:

$$K=0\longrightarrow y(x)=x$$

$$K=0\longrightarrow y(x)=x$$

$$-K+2=0\longrightarrow -y(x)+x+2=0\longrightarrow y(x)=x+2$$

$$-K+2=0\longrightarrow -y(x)+x+2=0\longrightarrow y(x)=x+2$$

Per $K\neq 0,K\neq 2$$K\neq 0,K\neq 2$ ottengo:

$${\frac {dK}{dx}}=-K^{2}+2K$$

$${\frac {dK}{dx}}=-K^{2}+2K$$

$${\frac {dK}{-K^{2}+2K}}=dx$$

$${\frac {dK}{-K^{2}+2K}}=dx$$

$$\int {\frac {dK}{-K^{2}+2K}}=\int dx$$

$$\int {\frac {dK}{-K^{2}+2K}}=\int dx$$

Voglio scrivere l'integranda come combinazione lineare di frazioni nella forma:

$${\frac {1}{-K^{2}+2K}}={\frac {a}{K}}+{\frac {b}{2-K}}$$

$${\frac {1}{-K^{2}+2K}}={\frac {a}{K}}+{\frac {b}{2-K}}$$

$$={\frac {a(2-K)+bK}{2K-K^{2}}}$$

$$={\frac {a(2-K)+bK}{2K-K^{2}}}$$

$$={\frac {2a+(b-a)K}{2K-K^{2}}}$$

$$={\frac {2a+(b-a)K}{2K-K^{2}}}$$

Eguagliando i coefficienti di primo e ultimo membro:

$$2a=1\longrightarrow a=-1/2$$

$$2a=1\longrightarrow a=-1/2$$

$$b-a=0\longrightarrow b=a=1/2$$

$$b-a=0\longrightarrow b=a=1/2$$

Sostituisco nell'integrale:

$$1/2*\int {\frac {1}{K}}\,dK+1/2*\int {\frac {1}{2-K}}\,dK$$

$$1/2*\int {\frac {1}{K}}\,dK+1/2*\int {\frac {1}{2-K}}\,dK$$

$$1/2*\log |K|-1/2*\log |2-K|=x+C$$

$$1/2*\log |K|-1/2*\log |2-K|=x+C$$

$$1/2*\log {\frac {K}{2-K}}=x+C$$

$$1/2*\log {\frac {K}{2-K}}=x+C$$

$$\log {\frac {K}{2-K}}=2(x+C)$$

$$\log {\frac {K}{2-K}}=2(x+C)$$

$${\frac {K}{2-K}}=e^{2(x+C)}$$

$${\frac {K}{2-K}}=e^{2(x+C)}$$

$${\frac {K}{2-K}}=C'*e^{2x}$$

$${\frac {K}{2-K}}=C'*e^{2x}$$

$$K=2C'*e^{2x}-KC'e^{2x}$$

$$K=2C'*e^{2x}-KC'e^{2x}$$

$$(1+C'e^{2x})*K=2C'*e^{2x}$$

$$(1+C'e^{2x})*K=2C'*e^{2x}$$

$$K={\frac {2C'*e^{2x}}{1+C'*e^{2x}}}$$

$$K={\frac {2C'*e^{2x}}{1+C'*e^{2x}}}$$

$$y(x)={\frac {2C'*e^{2x}}{1+C'*e^{2x}}}+x$$

$$y(x)={\frac {2C'*e^{2x}}{1+C'*e^{2x}}}+x$$

$$y(0)={\frac {2C'}{1+C'}}=1$$

$$y(0)={\frac {2C'}{1+C'}}=1$$

$$2C'=1+C'$$

$$2C'=1+C'$$

$$C'=1$$

$$C'=1$$

Soluzione del problema di Cauchy:

$$y(x)={\frac {e^{2x}}{1+e^{2x}}}+x$$

$$y(x)={\frac {e^{2x}}{1+e^{2x}}}+x$$

$$1+e^{2x}\neq 0$$

$$1+e^{2x}\neq 0$$

$$e^{2x}\neq -1\forall x\in \mathbb {R}$$

$$e^{2x}\neq -1\forall x\in \mathbb {R}$$

allora il dominio massimale di esistenza coincide con $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

Esercizio 4.9

Al variare di $\alpha \in \mathbb {R}$$\alpha \in \mathbb {R}$, si risolva il seguente problema di Cauchy, determinando, per ogni $\alpha$$\alpha$, l'intervallo massimale di esistenza della soluzione:

$${\begin{aligned}{\begin{cases}y'(x)=e^{y(x)}(x-1),\\y(0)=\alpha .\end{cases}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\begin{cases}y'(x)=e^{y(x)}(x-1),\\y(0)=\alpha .\end{cases}}\end{aligned}}$$

 

L'equazione è a variabili separabili e non ammette soluzioni costanti. La funzione $f=(x-1)*e^{y}$$f=(x-1)*e^{y}$ è continua e localmente lipschitziana, quindi si ha esistenza e unicità locale della soluzione. Per $x<1$$x<1$ le soluzioni sono decrescenti, mentre per $x>1$$x>1$ sono crescenti.

$${\frac {dy}{e^{y}}}=(x-1)\,dx$$

$${\frac {dy}{e^{y}}}=(x-1)\,dx$$

$$\int {\frac {dy}{e^{y}}}=\int (x-1)\,dx$$

$$\int {\frac {dy}{e^{y}}}=\int (x-1)\,dx$$

Calcolo

$$\int 1/e^{y}\,dy=$$

$$\int 1/e^{y}\,dy=$$

$$\int {\frac {e^{y}}{(e^{y})^{2}}}\,dy=$$

$$\int {\frac {e^{y}}{(e^{y})^{2}}}\,dy=$$

Pongo $t=e^{y}$$t=e^{y}$, quindi $dt=e^{y}dy$$dt=e^{y}dy$,

$$\int {\frac {1}{t^{2}}}\,dt=-1/t={\frac {-1}{e^{y}}}$$

$$\int {\frac {1}{t^{2}}}\,dt=-1/t={\frac {-1}{e^{y}}}$$

e tornando all'equazione differenziale ottengo:

$$-{\frac {1}{e^{y}}}=x^{2}/2-x+C$$

$$-{\frac {1}{e^{y}}}=x^{2}/2-x+C$$

Per $x^{2}/2-x+C\neq 0$$x^{2}/2-x+C\neq 0$

$$-e^{y}={\frac {1}{x^{2}/2-x+C}}$$

$$-e^{y}={\frac {1}{x^{2}/2-x+C}}$$

$$y=\log(-{\frac {1}{x^{2}/2-x+C}})$$

$$y=\log(-{\frac {1}{x^{2}/2-x+C}})$$

e la soluzione è definita se e solo se

$$x^{2}/2-x+C<0$$

$$x^{2}/2-x+C<0$$

Per risolvere il problema di Cauchy:

$$y(0)=\alpha =\log(-{\frac {1}{C}})$$

$$y(0)=\alpha =\log(-{\frac {1}{C}})$$

$$\alpha =\log(-1/C)$$

$$\alpha =\log(-1/C)$$

$$e^{\alpha }=-1/C$$

$$e^{\alpha }=-1/C$$

$$C=-{\frac {1}{e^{\alpha }}}$$

$$C=-{\frac {1}{e^{\alpha }}}$$

Le soluzioni sono definite per:

$$x^{2}/2-x-{\frac {1}{e^{\alpha }}}<0$$

$$x^{2}/2-x-{\frac {1}{e^{\alpha }}}<0$$

Per $\alpha =0$$\alpha=0$,

$$x^{2}-2x-2<0$$

$$x^{2}-2x-2<0$$

$$x_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {4+8}}}{2}}$$

$$x_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {4+8}}}{2}}$$

$$x_{1,2}=2\pm {\sqrt {3}}$$

$$x_{1,2}=2\pm {\sqrt {3}}$$

quindi per $\alpha =0$$\alpha=0$ l'intervallo di esistenza massimale della soluzione è $(2-{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}})$$(2-{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}})$.
In generale, l'equazione di secondo grado ha delta:

$$\delta =1-2{\frac {1}{e^{\alpha }}}$$

$$\delta =1-2{\frac {1}{e^{\alpha }}}$$

e si ha $\delta \geq 0$$\delta \geq 0$ se e solo se

$$1-2{\frac {1}{e^{\alpha }}}\geq 0$$

$$1-2{\frac {1}{e^{\alpha }}}\geq 0$$

$$e^{\alpha }-2\geq 0$$

$$e^{\alpha }-2\geq 0$$

$$e^{\alpha }\geq 2$$

$$e^{\alpha }\geq 2$$

$$\alpha \geq \log 2$$

$$\alpha \geq \log 2$$

In particolare, l'intervallo massimale di esistenza si riduce al crescere di $\alpha$$\alpha$ nell'intervallo $0<\alpha <\log 2$$0<\alpha <\log 2$, e si riduce ad un solo punto per $\alpha =\log 2$$\alpha =\log 2$. Per $\alpha >\log 2$$\alpha >\log 2$ la soluzione non esiste.

Esercizio 4.10

Si determinini l'integrale generale dell'equazione differenziale

$$y'(x)+(\sin x)y(x)=2\sin(x).$$

$$y'(x)+(\sin x)y(x)=2\sin(x).$$

Esistono soluzioni illimitate dell'equazione?

 

$$y'(x)+(\sin x)y(x)=2\sin(x)$$

$$y'(x)+(\sin x)y(x)=2\sin(x)$$

Questa è un'equazione lineare con $a(x)=\sin x$$a(x)=\sin x$ e $b(x)=\sin(2x)$$b(x)=\sin(2x)$, quindi applico la formula:

$$y(x)=e^{-\int \sin x\,dx}*[\int e^{\int \sin x\,dx}2\sin x\,dx]$$

$$y(x)=e^{-\int \sin x\,dx}*[\int e^{\int \sin x\,dx}2\sin x\,dx]$$

$$y(x)=e^{\cos x}*[\int e^{-\cos x}2\sin x\,dx]$$

$$y(x)=e^{\cos x}*[\int e^{-\cos x}2\sin x\,dx]$$

$$2*\int \sin xe^{-\cos x}\,dx$$

$$2*\int \sin xe^{-\cos x}\,dx$$

Risolvendo l'integrale per sostituzione pongo $-\cos x=t$$-\cos x=t$, quindi $\sin xdx=dt$$\sin xdx=dt$.

$$2*\int e^{t}\,dt=2e^{t}=2e^{-\cos x}$$

$$2*\int e^{t}\,dt=2e^{t}=2e^{-\cos x}$$

$$y(x)=e^{\cos x}*[2e^{-\cos x}+C]=2e^{\cos x}*e^{-\cos x}+C*e^{\cos x}=2+C*e^{\cos x}$$

$$y(x)=e^{\cos x}*[2e^{-\cos x}+C]=2e^{\cos x}*e^{-\cos x}+C*e^{\cos x}=2+C*e^{\cos x}$$

Alternativamente, se risolvo l'equazione separando le variabili ottengo:

$${\frac {dy}{dx}}=-\sin xy(x)+2\sin(x)$$

$${\frac {dy}{dx}}=-\sin xy(x)+2\sin(x)$$

$${\frac {dy}{dx}}=\sin x*[2-y(x)]$$

$${\frac {dy}{dx}}=\sin x*[2-y(x)]$$

$$\int {\frac {dy}{2-y}}=\int \sin x\,dx$$

$$\int {\frac {dy}{2-y}}=\int \sin x\,dx$$

$$-\log |2-y|=-\cos x+C$$

$$-\log |2-y|=-\cos x+C$$

$$|2-y|=e^{\cos x+C}$$

$$|2-y|=e^{\cos x+C}$$

$$y=2-e^{\cos x+C}$$

$$y=2-e^{\cos x+C}$$

e se pongo $C'=\log C$$C'=\log C$ ottengo:

$$y=2-Ce^{\cos x}$$

$$y=2-Ce^{\cos x}$$

L'equazione ha come soluzione illimitata la soluzione costante $y(x)=2$$y(x)=2$.

Esercizio 4.11

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

$$2\,t\,y\,(1+t)\,y'=1+y^{2}$$

$$2\,t\,y\,(1+t)\,y'=1+y^{2}$$

che verifica la condizione $y(1)=-1$$y(1)=-1$, specificando su quale intervallo massimale e' definita.

 

$$2ty(1+t)y'=1+y^{2}$$

$$2ty(1+t)y'=1+y^{2}$$

L'equazione è a variabili separabili. $1+y^{2}\neq 0\forall y$$1+y^{2}\neq 0\forall y$, quindi divido per $1+y^{2}$$1+y^{2}$.

$$2t{\frac {y}{1+y^{2}}}(1+t)dy=dt$$

$$2t{\frac {y}{1+y^{2}}}(1+t)dy=dt$$

Per $t\neq 0,t\neq -1$$t\neq 0,t\neq -1$ ottengo:

$${\frac {2y}{1+y^{2}}}dy={\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

$${\frac {2y}{1+y^{2}}}dy={\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

$$\int {\frac {2y}{1+y^{2}}}dy=\int {\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

$$\int {\frac {2y}{1+y^{2}}}dy=\int {\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

$$\log(1+y^{2})=\int {\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

$$\log(1+y^{2})=\int {\frac {dt}{t*(t+1)}}$$

Cerco i coefficienti $a,b$$a,b$ tali che

$${\frac {1}{t*(t+1)}}={\frac {a}{t}}+{\frac {b}{t+1}}$$

$${\frac {1}{t*(t+1)}}={\frac {a}{t}}+{\frac {b}{t+1}}$$

$$={\frac {a(t+1)+bt}{t+1}}$$

$$={\frac {a(t+1)+bt}{t+1}}$$

$$={\frac {(a+b)t+a}{t+1}}$$

$$={\frac {(a+b)t+a}{t+1}}$$

Quindi $a=1,\,b=-1$$a=1,\,b=-1$.

$$\int {\frac {1}{t*(t+1)}}\,dt=$$

$$\int {\frac {1}{t*(t+1)}}\,dt=$$

$$\int 1/t\,dt-\int {\frac {1}{1+t}}\,dt=$$

$$\int 1/t\,dt-\int {\frac {1}{1+t}}\,dt=$$

$$\log |t|-\log |1+t|=\log {\frac {|t|}{|1+t|}}$$

$$\log |t|-\log |1+t|=\log {\frac {|t|}{|1+t|}}$$

Quindi nell'equazione differenziale si ottiene:

$$\log(1+y^{2})=\log {\frac {|t|}{|1+t|}}$$

$$\log(1+y^{2})=\log {\frac {|t|}{|1+t|}}$$

$$1+y^{2}={\frac {|t|}{|t+1|}}$$

$$1+y^{2}={\frac {|t|}{|t+1|}}$$

$$y^{2}={\frac {|t|}{|t+1|}}-1+C$$

$$y^{2}={\frac {|t|}{|t+1|}}-1+C$$

La condizione del problema di Cauchy è verificata se

$$-1=1/2-1+C$$

$$-1=1/2-1+C$$

$$C=-1/2$$

$$C=-1/2$$

$$y(t)={\sqrt {{\frac {|t|}{|t+1|}}-3/2}}$$

$$y(t)={\sqrt {{\frac {|t|}{|t+1|}}-3/2}}$$

$$y(t)={\sqrt {\frac {|t|-3/2t-3/2}{|t+1|}}}$$

$$y(t)={\sqrt {\frac {|t|-3/2t-3/2}{|t+1|}}}$$

$$y(t)={\sqrt {-1/2*{\frac {t+3}{|t+1|}}}}$$

$$y(t)={\sqrt {-1/2*{\frac {t+3}{|t+1|}}}}$$

Intervallo massimale di esistenza:

$$-3<t<-1$$

$$-3<t<-1$$