Equazioni differenziali di ordine n

Richiami teorici

Considero un'equazione omogenea della forma:

$$a_{0}*y^{(n)}+a_{1}*y^{(n-1)}+\dots +a_{n}=0\quad {\hbox{equazione }}1$$

$$a_{0}*y^{(n)}+a_{1}*y^{(n-1)}+\dots +a_{n}=0\quad {\hbox{equazione }}1$$

alla quale posso associare il polinomio

$$a_{0}*\lambda ^{n}+\dots +a_{n-1}*\lambda +a_{n}=0$$

$$a_{0}*\lambda ^{n}+\dots +a_{n-1}*\lambda +a_{n}=0$$

Zeri reali

Supponiamo che ${\bar {\lambda }}\in \mathbb {R}$${\bar {\lambda }}\in \mathbb {R}$ risolva l'equazione caratteristica con molteplicità $k$$k$, allora $k$$k$ soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione 1 sono date da

$$e^{{\bar {\lambda }}x},\,x*e^{{\bar {\lambda }}x},\,\dots ,x^{k-1}*e^{{\bar {\lambda }}x}.$$

$$e^{{\bar {\lambda }}x},\,x*e^{{\bar {\lambda }}x},\,\dots ,x^{k-1}*e^{{\bar {\lambda }}x}.$$

Zeri complessi

Se $\alpha \pm i\beta$$\alpha \pm i\beta$ è una coppia di soluzioni caratteristiche con una molteplicità $h$$h$, allora $2h$$2h$ soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale sono date da:

$$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,e^{\alpha x}\sin(\beta x),\,x*e^{\alpha x}*\cos(\beta x),\,x*e^{\alpha x}\sin(\beta x),\,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$

$$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,e^{\alpha x}\sin(\beta x),\,x*e^{\alpha x}*\cos(\beta x),\,x*e^{\alpha x}\sin(\beta x),\,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$

Consideriamo ora invece un'equazione non omogenea della forma:

$$a_{0}*y^{(n)}+\dots +a_{n-1}*y+a_{n}=f(x){\hbox{equazione}}2$$

$$a_{0}*y^{(n)}+\dots +a_{n-1}*y+a_{n}=f(x){\hbox{equazione}}2$$

Per risolvere quest'equazione si usa il metodo di variazione delle costanti.

Supponiamo di avere $z_{1},z_{2},\dots z_{n}$$z_{1},z_{2},\dots z_{n}$ soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata all'equazione 2. Allora definisco il determinante Wromksiano

$$W(x)={\begin{array}{cccc}z_{1}(x)&z_{2}(x)&\dots &z_{n}(x)\\z_{1}'(x)&z_{2}'(x)&\dots &z_{n}'(x)\\\dots &\dots &\dots &\dots \\z_{1}^{(n-1)}(x)&z_{2}^{(n-1)}(x)&\dots &z_{n-1}^{(n-1)}(x)\end{array}}$$

$$W(x)={\begin{array}{cccc}z_{1}(x)&z_{2}(x)&\dots &z_{n}(x)\\z_{1}'(x)&z_{2}'(x)&\dots &z_{n}'(x)\\\dots &\dots &\dots &\dots \\z_{1}^{(n-1)}(x)&z_{2}^{(n-1)}(x)&\dots &z_{n-1}^{(n-1)}(x)\end{array}}$$

Definisco la matrice:

$$W_{1n}(t,x)={\begin{array}{cccc}z_{1}(t)&z_{2}(t)&\dots &z_{n}(t)\\z_{1}'(t)&z_{2}'(t)&\dots &z_{n}'(t)\\\dots &\dots &\dots &\dots \\z_{1}^{(n-2)}(t)&z_{2}^{(n-2)}(t)&\dots &z_{n-1}^{(n-2)}(t)\\z_{1}(x)&z_{2}(x)&\dots &z_{n}(x)\end{array}}$$

$$W_{1n}(t,x)={\begin{array}{cccc}z_{1}(t)&z_{2}(t)&\dots &z_{n}(t)\\z_{1}'(t)&z_{2}'(t)&\dots &z_{n}'(t)\\\dots &\dots &\dots &\dots \\z_{1}^{(n-2)}(t)&z_{2}^{(n-2)}(t)&\dots &z_{n-1}^{(n-2)}(t)\\z_{1}(x)&z_{2}(x)&\dots &z_{n}(x)\end{array}}$$

allora

$$U(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\det W_{1n}(t,x)}{\det W(x)}}f(t)\,dt$$

$$U(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\det W_{1n}(t,x)}{\det W(x)}}f(t)\,dt$$

e questo vale nell'ipotesi che la funzione $f$$f$ sia definita in 0, altrimenti al posto di 0 si mette ${\bar {x}}$$\bar x$ nel dominio di $f$$f$.

Non è sempre necessario ricorrere al metodo delle costanti arbitrarie. Supponiamo di avere:

$$f(x)=e^{\alpha x}[p_{m}(x)*\sin(\beta x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x)]\quad {\hbox{equazione }}4$$

$$f(x)=e^{\alpha x}[p_{m}(x)*\sin(\beta x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x)]\quad {\hbox{equazione }}4$$

con $p_{m},r_{m}$$p_{m},r_{m}$ polinomi di grado al più $n$$n$.
Una soluzione particolare dell'equazione 2 si trova nella forma:

$$w(x)=x^{k}*(p_{m}'(x)\sin(\beta x)+r_{m}'(x)*\cos(\beta x)*e^{\alpha x}\quad {\hbox{equazione}}5$$

$$w(x)=x^{k}*(p_{m}'(x)\sin(\beta x)+r_{m}'(x)*\cos(\beta x)*e^{\alpha x}\quad {\hbox{equazione}}5$$

dove $k$$k$ è la molteplicità di $\alpha \pm i\beta$$\alpha \pm i\beta$ come soluzione dell'equazione omogenea.
$p_{m}',r_{m}'$$p_{m}',r_{m}'$ sono polinomi dello stesso grado di $p_{m},r_{m}$$p_{m},r_{m}$ e si determinano sostituendo quest'espressione della soluzione nell'equazione differenziale di partenza.

Esercizio 4.16

Determinare l'integrale generale delle seguenti equazioni omogenee a coefficienti costanti.

 

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=0$$

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=0$$

1. Scrivo l'equazione caratteristica associata:
   $$x^{3}+6x^{2}+11x+6=0$$

   $$x^{3}+6x^{2}+11x+6=0$$
2. Cerco le radici del polinomio. Le radici razionali si trovano tra i divisori del termine noto, e le possibilità sono quindi $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$.
   $$\lambda =1\,\longrightarrow \,1+6+11+6\neq 0$$

   $$\lambda =1\,\longrightarrow \,1+6+11+6\neq 0$$
   $$\lambda =-1\,\longrightarrow \,-1+6-11+6=0$$

   $$\lambda =-1\,\longrightarrow \,-1+6-11+6=0$$
   $$\lambda =-2\,\longrightarrow \,-8+24-22+6=0$$

   $$\lambda =-2\,\longrightarrow \,-8+24-22+6=0$$
   $$\lambda =-3\,\longrightarrow \,-27+54-33+6=0$$

   $$\lambda =-3\,\longrightarrow \,-27+54-33+6=0$$
   Non cerco altre radici perché un polinomio di grado 3 ha al più tre radici. Allora $\lambda =-2,\lambda =-1$$\lambda =-2,\lambda =-1$ e $\lambda =-3$$\lambda =-3$ sono radici di molteplicità 1.
3. Scrivo l'integrale generale è:
   $$y(x)=c_{1}*e^{-x}+c_{2}*e^{-2x}+c_{3}*e^{-6x}$$

   $$y(x)=c_{1}*e^{-x}+c_{2}*e^{-2x}+c_{3}*e^{-6x}$$

Esercizio 4.17

Determinare l'integrale generale dell'equazione:

$$y^{(4)}-3y^{(3)}=0$$

$$y^{(4)}-3y^{(3)}=0$$

 

L'equazione caratteristica associata è

$$\lambda ^{3}*(\lambda -3)=0$$

$$\lambda ^{3}*(\lambda -3)=0$$

allora le soluzioni sono $\lambda =0$$\lambda=0$ con molteplicità 3 e $\lambda =3$$\lambda =3$ con molteplicità 1.
L'integrale generale si scrive come:

$$y=c_{1}*e^{0}+c_{2}x*e^{0}+c_{3}x^{2}*e^{0}+c_{4}*e^{3x}$$

$$y=c_{1}*e^{0}+c_{2}x*e^{0}+c_{3}x^{2}*e^{0}+c_{4}*e^{3x}$$

$$y=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}*e^{3x}$$

$$y=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}*e^{3x}$$

Esercizio 4.18

Determinare l'integrale generale delle seguenti equazioni non omogenee:

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

 

L'equazione omogenea è già stata studiata, vogliamo quindi calcolare una soluzione particolare. Vogliamo verificare se si può evitare il metodo di variazione delle costanti, e quindi se $f(x)$$f(x)$ si può scrivere come somma di funzioni del tipo 4 (somme di polinomi per seni e coseni). Allora scrivo:

$$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$$

$$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$$

con $f_{1},f_{2}$$f_{1},f_{2}$ funzioni del tipo 4. Trovo una soluzione $w_{1}$$w_1$ di:

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=f_{1}$$

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=f_{1}$$

e una soluzione $w_{2}$$w_{2}$ di

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=f_{2}$$

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=f_{2}$$

allora per linearità $u(x)=w_{1}(x)+w_{2}(x)$$u(x)=w_{1}(x)+w_{2}(x)$ è soluzione dell'equazione differenziale.

$$\sinh x=(e^{x}-e^{-x})/2,\quad f_{1}=1/2*e^{x},\quad f_{2}=1/2e^{-x}$$

$$\sinh x=(e^{x}-e^{-x})/2,\quad f_{1}=1/2*e^{x},\quad f_{2}=1/2e^{-x}$$

Mi chiedo se $f_{1}$$f_1$ è uguale a

$$e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+h_{m}(x)*\cos(\beta x)].$$

$$e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+h_{m}(x)*\cos(\beta x)].$$

Per risolvere l'equazione:

$$e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+h_{m}(x)*\cos(\beta x)]=1/2*e^{x}$$

$$e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+h_{m}(x)*\cos(\beta x)]=1/2*e^{x}$$

Pongo $\beta =0$$\beta =0$, in modo che $p_{m}*\sin(\beta x)=0$$p_{m}*\sin(\beta x)=0$ e $h_{m}*\cos(\beta x)=H_{m}$$h_{m}*\cos(\beta x)=H_{m}$, inoltre $r_{m}=1/2$$r_{m}=1/2$ (polinomio di grado 0) e $\alpha =1$$\alpha=1$.
Allora

$$\alpha \pm i\beta =\alpha =1$$

$$\alpha \pm i\beta =\alpha =1$$

e $\lambda =1$$\lambda=1$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, e ha quindi molteplicità nulla. La soluzione è del tipo:

$$w_{1}(x)=x^{k}*(q_{m}(x)\sin(\beta x)+r_{m}(x)\cos(\beta x))*e^{\alpha x}$$

$$w_{1}(x)=x^{k}*(q_{m}(x)\sin(\beta x)+r_{m}(x)\cos(\beta x))*e^{\alpha x}$$

$$\alpha =1,\beta =0,k=0\quad \longrightarrow \quad w_{1}(x)=(q_{m}(x)\sin 0+r_{m}(x)\cos 0)*e^{x}=r_{m}(x)*e^{x}$$

$$\alpha =1,\beta =0,k=0\quad \longrightarrow \quad w_{1}(x)=(q_{m}(x)\sin 0+r_{m}(x)\cos 0)*e^{x}=r_{m}(x)*e^{x}$$

e pongo la costante $r_{m}(x)=A$$r_{m}(x)=A$.

$$w_{1}(x)=A*e^{x}$$

$$w_{1}(x)=A*e^{x}$$

Analogamente, $f_{2}(x)=-1/2e^{-x}$$f_{2}(x)=-1/2e^{-x}$ può essere scritta nella forma desiderata se pongo $\beta =0$$\beta =0$, allora risolvo:

$$-1/2e^{-x}=e^{\alpha x}*h_{m}(x)$$

$$-1/2e^{-x}=e^{\alpha x}*h_{m}(x)$$

e quest'equazione è soddisfatta per $\alpha =-1$$\alpha =-1$ e $h_{m}(x)=-1/2$$h_{m}(x)=-1/2$.

Allora applico il metodo precedente:

$$\alpha \pm i\beta =-1$$

$$\alpha \pm i\beta =-1$$

che è soluzione dell'equazione caratteristica con molteplicità $1$$1$. Una soluzione particolare dell'equazione

$$y^{(3}+6y^{(2)}+11y'+6=f_{2}(x)$$

$$y^{(3}+6y^{(2)}+11y'+6=f_{2}(x)$$

è del tipo $w_{2}(x)=x^{k}*e^{\alpha x}*r_{m}(x)=x*e^{-x}*B$$w_{2}(x)=x^{k}*e^{\alpha x}*r_{m}(x)=x*e^{-x}*B$ con $B$$B$ polinomio di grado $0$$0$.

Allora:

$$u(x)=w_{1}(x)+w_{2}(x)=y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

$$u(x)=w_{1}(x)+w_{2}(x)=y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

per un'opportuna scelta di $A,B$$A,B$.

$$w_{1}(x)+w_{2}(x)=A*e^{x}+B*x*e^{-x}$$

$$w_{1}(x)+w_{2}(x)=A*e^{x}+B*x*e^{-x}$$

Faccio le derivate e sostituisco nell'equazione differenziale, in modo da ricavare un'espressione per $A$$A$ e $B$$B$:

$$u'(x)=A*e^{x}+B*e^{-x}-B*x*e^{-x}=A*e^{x}+B*e^{-x}*(1-x)$$

$$u'(x)=A*e^{x}+B*e^{-x}-B*x*e^{-x}=A*e^{x}+B*e^{-x}*(1-x)$$

$$u^{(2)}(x)=A*e^{x}-B*e^{-x}-B*e^{-x}*(1-x)=A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-2)$$

$$u^{(2)}(x)=A*e^{x}-B*e^{-x}-B*e^{-x}*(1-x)=A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-2)$$

$$u^{(3)}=A*e^{x}-B*e^{-x}+B*e^{-x}*(x-2)=A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-3)$$

$$u^{(3)}=A*e^{x}-B*e^{-x}+B*e^{-x}*(x-2)=A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-3)$$

Sostituisco in:

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

$$y^{(3)}+6y^{(2)}+11y'+6y=\sinh x$$

e ottengo:

$$A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-3)+6[A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-2)]+11[A*e^{x}-B*e^{-x}*(x-1)]+6A*e^{x}+6Bx*e^{-x}=1/2e^{x}-1/2e^{-x}$$

$$A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-3)+6[A*e^{x}+B*e^{-x}*(x-2)]+11[A*e^{x}-B*e^{-x}*(x-1)]+6A*e^{x}+6Bx*e^{-x}=1/2e^{x}-1/2e^{-x}$$

$$24Ae^{x}+2Be^{-x}=1/2e^{x}-1/2e^{-x}$$

$$24Ae^{x}+2Be^{-x}=1/2e^{x}-1/2e^{-x}$$

$$24A=1/2$$

$$24A=1/2$$

$$A={\frac {1}{48}}$$

$$A={\frac {1}{48}}$$

$$2B=-1/2$$

$$2B=-1/2$$

$$B=-1/4$$

$$B=-1/4$$

Allora una soluzione particolare è della forma:

$$u(x)={\frac {1}{48}}*e^{x}-1/4*x*e^{-x}$$

$$u(x)={\frac {1}{48}}*e^{x}-1/4*x*e^{-x}$$

e l'integrale generale si ottiene sommando a questo risultato un integrale generale dell'equazione omogenea.

Esercizio 4.19

Determinare l'integrale generale dell'equazione:

$$y^{(4)}-3y^{(3)}=x+1.$$

$$y^{(4)}-3y^{(3)}=x+1.$$

 

1. La soluzione generale dell'equazione omogenea è:
   $$y(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}e^{3x}$$

   $$y(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}e^{3x}$$
2. Verifico se
   $$x+1=e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x))$$

   $$x+1=e^{\alpha x}*(p_{m}(x)*\sin(\beta x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x))$$
   Pongo $\alpha =\beta =0$$\alpha =\beta =0$ e $r_{m}(x)=x+1$$r_{m}(x)=x+1$.
3. $\alpha +i\beta =0$$\alpha +i\beta =0$. $0$$0$ è soluzione dell'equazione omogenea con molteplicità 3, quindi:
   $$u(x)=e^{\alpha x}*[p_{m}(x)*\sin(\alpha x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x)]*x^{k}=x^{3}*r_{m}(x)$$

   $$u(x)=e^{\alpha x}*[p_{m}(x)*\sin(\alpha x)+r_{m}(x)*\cos(\beta x)]*x^{k}=x^{3}*r_{m}(x)$$
   e con $r_{m}(x)$$r_{m}(x)$ polinomio di grado 1 che si può scrivere come $Ax+B$$Ax+B$. Quindi:
   $$u(x)=x^{3}*(Ax+B)=Ax^{4}+Bx^{3}$$

   $$u(x)=x^{3}*(Ax+B)=Ax^{4}+Bx^{3}$$
4. Le derivate di $u(x)$$u(x)$ sono
   $$u'(x)=4Ax^{3}+3Bx^{2}$$

   $$u'(x)=4Ax^{3}+3Bx^{2}$$
   $$u^{(2)}(x)=12Ax^{2}+6Bx$$

   $$u^{(2)}(x)=12Ax^{2}+6Bx$$
   $$u^{(3)}(x)=24Ax+6B$$

   $$u^{(3)}(x)=24Ax+6B$$
   $$u^{(4)}(x)=24A$$

   $$u^{(4)}(x)=24A$$
5. Sostituisco le derivate nell'equazione:
   $$y^{(4)}-3y^{(3)}=x+1$$

   $$y^{(4)}-3y^{(3)}=x+1$$
   $$24A-3*(24Ax+6B)=x+1$$

   $$24A-3*(24Ax+6B)=x+1$$
   $$24A-72Ax-18B=x+1$$

   $$24A-72Ax-18B=x+1$$
   $${\begin{cases}72A=-1\\24A-18B=1\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}72A=-1\\24A-18B=1\end{cases}}$$
   $$A=-1/(72),\,B=-{\frac {2}{27}}$$

   $$A=-1/(72),\,B=-{\frac {2}{27}}$$
6. La soluzione particolare è:
   $$u(x)=-1/72x^{4}-2/27x^{3}$$

   $$u(x)=-1/72x^{4}-2/27x^{3}$$
7. L'integrale generale è
   $$y(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}e^{3x}-1/72x^{4}-2/27x^{3}$$

   $$y(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+c_{4}e^{3x}-1/72x^{4}-2/27x^{3}$$

Esercizio 4.20

Utilizzando il metodo di variazione delle costanti si scriva l'integrale generale dell'equazione

$$y^{(2)}+\omega ^{2}y=f(x)$$

$$y^{(2)}+\omega ^{2}y=f(x)$$

con $\omega$$\omega$ numero reale positivo e $f$$f$ funzione continua. Si determini un integrale particolare nel caso $\omega =1$$\omega =1$ e $f(x)=\sin x\cos x$$f(x)=\sin x\cos x$.

 

Consideriamo l'equazione caratteristica associata all'omogenea:

$$\lambda ^{2}+\omega ^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}+\omega ^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}=-\omega ^{2}$$

$$\lambda ^{2}=-\omega ^{2}$$

$$\lambda =\pm i\omega$$

$$\lambda =\pm i\omega$$

Allora il polinomio ha come radici due numeri complessi coniugati della forma $\alpha \pm i\beta$$\alpha \pm i\beta$ cn $\alpha =0$$\alpha=0$ e $\beta =\omega$$\beta =\omega$. L'integrale generale dell'equazione omogenea è dato da:

$$c_{1}*e^{\alpha t}*\cos(\beta t)+c_{2}*e^{\alpha t}*\sin(\beta t)$$

$$c_{1}*e^{\alpha t}*\cos(\beta t)+c_{2}*e^{\alpha t}*\sin(\beta t)$$

e quindi

$$c_{1}*\cos(\omega t)+c_{2}*\sin(\omega t)$$

$$c_{1}*\cos(\omega t)+c_{2}*\sin(\omega t)$$

con $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$$c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$.

Pongo:

$$z_{1}=\cos(\omega x),\,z_{2}=\sin(\omega x)$$

$$z_{1}=\cos(\omega x),\,z_{2}=\sin(\omega x)$$

Calcolo il determinante wronskiano:

$$\left({\begin{array}{cc}z_{1}(x)&z_{2}(x)\\z_{1}'&z_{2}'\end{array}}\right)$$

$$\left({\begin{array}{cc}z_{1}(x)&z_{2}(x)\\z_{1}'&z_{2}'\end{array}}\right)$$

$$W(x)={\begin{array}{cc}\cos(\omega x)&\sin(\omega x)\\-\omega \sin(\omega x)&\omega \cos(\omega x)\end{array}}$$

$$W(x)={\begin{array}{cc}\cos(\omega x)&\sin(\omega x)\\-\omega \sin(\omega x)&\omega \cos(\omega x)\end{array}}$$

$$\det W(x)=\omega \cos ^{2}x+\omega \sin ^{2}x=\omega$$

$$\det W(x)=\omega \cos ^{2}x+\omega \sin ^{2}x=\omega$$

$$W_{12}=\left({\begin{array}{cc}z_{1}(t)&z_{2}(t)\\z_{1}(x)&z_{2}(x)\end{array}}\right)$$

$$W_{12}=\left({\begin{array}{cc}z_{1}(t)&z_{2}(t)\\z_{1}(x)&z_{2}(x)\end{array}}\right)$$

$$W_{12}(x,t)={\begin{array}{ccc}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\\cos(\omega x)&\sin(\omega x)\end{array}}$$

$$W_{12}(x,t)={\begin{array}{ccc}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\\cos(\omega x)&\sin(\omega x)\end{array}}$$

$$\det W_{12}=\cos(\omega t)\sin(\omega x)-\sin(\omega t)*\cos(\omega x)$$

$$\det W_{12}=\cos(\omega t)\sin(\omega x)-\sin(\omega t)*\cos(\omega x)$$

$$U(x)=\int _{0}^{x}{\frac {W_{12}(x,t)}{W(t)}}\,f(t)\,dt=1/\omega *\int _{0}^{x}\det W_{12}(x,t)\,f(t)dt$$

$$U(x)=\int _{0}^{x}{\frac {W_{12}(x,t)}{W(t)}}\,f(t)\,dt=1/\omega *\int _{0}^{x}\det W_{12}(x,t)\,f(t)dt$$

$$y(x)=c_{1}\cos(\omega x)+c_{2}\sin(\omega x)+u(x)$$

$$y(x)=c_{1}\cos(\omega x)+c_{2}\sin(\omega x)+u(x)$$

Nel caso particolare $\omega =1$$\omega =1$, $f(x)=\sin x\cos x$$f(x)=\sin x\cos x$ si ha:

$$u(x)=\int _{0}^{x}(\cos t\sin x-\sin t\cos x)*(\sin t\cos t)\,dt$$

$$u(x)=\int _{0}^{x}(\cos t\sin x-\sin t\cos x)*(\sin t\cos t)\,dt$$

$$=\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\sin t\sin x-\sin ^{2}t\cos t\cos x\,dt$$

$$=\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\sin t\sin x-\sin ^{2}t\cos t\cos x\,dt$$

Uso la linearità dell'integrale:

$$\sin x*\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\sin t\,dt-\cos x*\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\cos t\,dt$$

$$\sin x*\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\sin t\,dt-\cos x*\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\cos t\,dt$$

Pongo $\cos t=s$$\cos t=s$.

$$-\sin t\,dt=ds$$

$$-\sin t\,dt=ds$$

$$t=0\longrightarrow s=\cos 0=1$$

$$t=0\longrightarrow s=\cos 0=1$$

$$t=x\longrightarrow s=\cos x$$

$$t=x\longrightarrow s=\cos x$$

$$-\sin x*\int _{1}^{\cos x}s^{2}\,ds=$$

$$-\sin x*\int _{1}^{\cos x}s^{2}\,ds=$$

$$-1/3*\sin x*[s^{3}]_{1}^{\cos x}=-1/3*\sin x*[(\cos x)^{3}-1]$$

$$-1/3*\sin x*[s^{3}]_{1}^{\cos x}=-1/3*\sin x*[(\cos x)^{3}-1]$$

$$\cos x*\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\cos t\,dt=$$

$$\cos x*\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\cos t\,dt=$$

Pongo $s=\sin t$$s=\sin t$, $ds=\cos t\,dt$$ds=\cos t\,dt$.

$$t=0\longrightarrow s=\sin 0=0,\quad t=x\,\longrightarrow s=\cos x$$

$$t=0\longrightarrow s=\sin 0=0,\quad t=x\,\longrightarrow s=\cos x$$

$$\cos x*\int _{0}^{\cos x}s^{2}\,ds=$$

$$\cos x*\int _{0}^{\cos x}s^{2}\,ds=$$

$$1/3*\cos x*[s^{3}]_{0}^{\cos x}=1/3*\cos x*(\cos x)^{3}$$

$$1/3*\cos x*[s^{3}]_{0}^{\cos x}=1/3*\cos x*(\cos x)^{3}$$

Allora una soluzione particolare dell'equazione è:

$$1/3*(\cos x)^{4}-1/3*\sin x*[(\cos x)^{3}-1]$$

$$1/3*(\cos x)^{4}-1/3*\sin x*[(\cos x)^{3}-1]$$

Esercizio 4.21

Consideriamo l'equazione:

$$x^{(2)}+\omega ^{2}x=\cos(\nu t)\quad {\hbox{equazione del pendolo}}$$

$$x^{(2)}+\omega ^{2}x=\cos(\nu t)\quad {\hbox{equazione del pendolo}}$$

con $\nu$$\nu$ costante reale, e $\omega ,\nu$$\omega ,\nu$ numeri reali positivi. Si chiede di scriverne l'integrale generale.

 

L'equazione omogenea si risolve come prima:

$$\lambda ^{2}+\omega ^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}+\omega ^{2}=0$$

$$\lambda =\pm i\omega$$

$$\lambda =\pm i\omega$$

e ha due soluzioni complesse. L'integrale generale è quindi:

$$y(t)=c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)$$

$$y(t)=c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)$$

Cerco ora l'integrale particolare: non ricorro al metodo di variazione delle costanti e cerco i valori di $\alpha ,\beta ,r_{m},p_{m}$$\alpha ,\beta ,r_{m},p_{m}$ che soddisfano l'equazione:

$$\cos(\nu t)=e^{\alpha t}*(p_{m}(t)*\sin(\beta t)+h_{m}(t)*\cos(\beta t)]$$

$$\cos(\nu t)=e^{\alpha t}*(p_{m}(t)*\sin(\beta t)+h_{m}(t)*\cos(\beta t)]$$

Pongo $\alpha =0$$\alpha=0$, $\beta =\nu$$\beta =\nu$, $p_{m}(t)=0$$p_{m}(t)=0$, $h_{m}(t)=1$$h_{m}(t)=1$, alloa la disuguaglianza è verificata.
Consideriamo:

$$\alpha \pm i\beta =\pm \nu$$

$$\alpha \pm i\beta =\pm \nu$$

1. Se $\nu \neq \omega$$\nu \neq \omega$, allora non è soluzione dell'equazione omogenea e ha quindi molteplicità 0. Allora una soluzione particolare è data da:
   $$u(t)=[Q_{m}(t)*\sin(\nu t)+s_{m}(t)*\cos(\nu t)]$$

   $$u(t)=[Q_{m}(t)*\sin(\nu t)+s_{m}(t)*\cos(\nu t)]$$
   con $q_{m},s_{m}$$q_{m},s_{m}$ polinomi di grado 0 che indico con $A,B$$A,B$.
   $$u'(t)=\nu *A*\cos(\nu t)-\nu *B*\sin(\nu t)$$

   $$u'(t)=\nu *A*\cos(\nu t)-\nu *B*\sin(\nu t)$$
   $$u''(t)=-\nu ^{2}*A*\sin(\nu t)-\nu ^{2}*B*\cos(\nu t)$$

   $$u''(t)=-\nu ^{2}*A*\sin(\nu t)-\nu ^{2}*B*\cos(\nu t)$$
   e sostituendo nell'equazione ottengo:
   $$-\nu ^{2}*A*\sin(\nu t)-\nu ^{2}*B*\cos(\nu t)+\omega ^{2}+A*\sin(\nu t)+\omega ^{2}*B*\cos(\nu t)=\cos(\nu t)$$

   $$-\nu ^{2}*A*\sin(\nu t)-\nu ^{2}*B*\cos(\nu t)+\omega ^{2}+A*\sin(\nu t)+\omega ^{2}*B*\cos(\nu t)=\cos(\nu t)$$
   $${\begin{cases}-\nu ^{2}*A+\omega ^{2}*A=0\\-\nu ^{2}*B+\omega ^{2}*B=1\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}-\nu ^{2}*A+\omega ^{2}*A=0\\-\nu ^{2}*B+\omega ^{2}*B=1\end{cases}}$$
   Quindi $A=0$$A=0$, $B={\frac {1}{\omega ^{2}-\nu ^{2}}}$$B={\frac {1}{\omega ^{2}-\nu ^{2}}}$L'integrale generale dell'equazione del pendolo con $\nu \neq \omega$$\nu \neq \omega$, è
   $$x(t)=c_{1}*\sin(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)+{\frac {1}{\omega ^{2}-\nu ^{2}}}*\cos(\nu t)$$

   $$x(t)=c_{1}*\sin(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)+{\frac {1}{\omega ^{2}-\nu ^{2}}}*\cos(\nu t)$$
   Ho una somma di funzioni periodiche con periodo determinato da $\omega ,\nu$$\omega ,\nu$. Allora il pendolo ha una sua oscillazione propria mentre la forzante ha un periodo diverso.
2. Nel caso in cui $\omega =\nu$$\omega =\nu$ si osserva il fenomeno della risonanza: la frequenza propria del pendolo coincide con la frequenza della forzante che stiamo applicando.Le soluzioni:
   $$\alpha \pm i\nu =\pm i\omega$$

   $$\alpha \pm i\nu =\pm i\omega$$
   sono anche soluzioni dell'equazione omogenea con molteplicità 1.Quindi una soluzione particolare dell'equazione completa è:
   $$U(t)=t*[A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)]$$

   $$U(t)=t*[A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)]$$
   $$U'(t)=[A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)]+t*[-\omega A*\sin(\omega t)+\omega *B*\cos(\omega t)]$$

   $$U'(t)=[A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)]+t*[-\omega A*\sin(\omega t)+\omega *B*\cos(\omega t)]$$
   $$U''(t)=-\omega A\sin(\omega t)+\omega B\cos(\omega t)-\omega A*\sin(\omega t)+\omega *B*\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]$$

   $$U''(t)=-\omega A\sin(\omega t)+\omega B\cos(\omega t)-\omega A*\sin(\omega t)+\omega *B*\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]$$
   $$U''(t)=-2\omega A\sin(\omega t)+2\omega B\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]$$

   $$U''(t)=-2\omega A\sin(\omega t)+2\omega B\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]$$
   $$-2\omega A\sin(\omega t)+2\omega B\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]+\omega ^{2}*(A*\sin(\omega t)+B*\sin(\omega t))=\cos(\omega t)$$

   $$-2\omega A\sin(\omega t)+2\omega B\cos(\omega t)+t*[-\omega ^{2}A*\cos(\omega t)-\omega ^{2}*B*\sin(\omega t)]+\omega ^{2}*(A*\sin(\omega t)+B*\sin(\omega t))=\cos(\omega t)$$
   quindi $B=0,A={\frac {1}{2\omega }}$$B=0,A={\frac {1}{2\omega }}$,L'integrale generale è:
   $$x(t)={\frac {1}{2\omega }}*(t*\sin(\omega t)+c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)$$

   $$x(t)={\frac {1}{2\omega }}*(t*\sin(\omega t)+c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t)$$
   con $c_{1},c_{2}$$c_{1},c_{2}$ numeri reali. Scelgo $c_{1},c_{2}=0$$c_{1},c_{2}=0$ e ottengo:
   $$x(t)={\frac {1}{2\omega }}*t*\sin(\omega t)$$

   $$x(t)={\frac {1}{2\omega }}*t*\sin(\omega t)$$