Richiami teorici

1. Si dice che $f$$f$ è derivabile parzialmente rispetto alla variabile $x$$x$ se esiste
   $$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}$$

   $$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}$$
   e tale limite viene detto derivata parziale di $f$$f$ in $(x,y)$$(x,y)$.
2. Scelto un versore ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$, se esiste
   $$\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv_{1},y+tv_{2})-f(x,y)}{t}}$$

   $$\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv_{1},y+tv_{2})-f(x,y)}{t}}$$
   allora $f$$f$ è derivabile lungo la direzione ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$ nel punto $(x,y)$$(x,y)$ e il limite si chiama derivata direzionale di $f$$f$ rispetto alla direzione ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$.
3. Se $f$$f$ ha tutte le derivate parziali e direzionali in un punto $P=(x,y)$$P=(x,y)$, non è detto che sia continua in quel punto.
4. Si dice che una funzione$f$$f$ è differenziabile se:
   $$f(x+h,y+k)=f(x,y)+h*{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+k*{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+o({\sqrt {h^{2}+k^{2}}})$$

   $$f(x+h,y+k)=f(x,y)+h*{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+k*{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+o({\sqrt {h^{2}+k^{2}}})$$
5. Per verificare se una funzione è differenziabile si verifica che:
   $$\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {f(x+h,y+k)-f(x,y)-h*{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-k*{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}{\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}$$

   $$\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {f(x+h,y+k)-f(x,y)-h*{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-k*{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}{\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}$$
   tende a 0.
6. Se $f$$f$ è differenziabile in $(x,y)$$(x,y)$ allora è continua in $(x,y)$$(x,y)$, ha tutte le derivate direzionali nel punto $(x,y)$$(x,y)$ e la derivata della funzione $f$$f$ rispetto alla direzione ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$ è pari a:
   $$-\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\quad t.c.\quad \vert {\boldsymbol {v}}\vert =1$$

   $$-\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\quad t.c.\quad \vert {\boldsymbol {v}}\vert =1$$
7. Se $f$$f$ è continua in $(x,y)$$(x,y)$, se è derivabile in $(x,y)$$(x,y)$ e se le derivate parziali sono continue in $(x,y)$$(x,y)$, allora $f$$f$ è differenziabile in $(x,y)$$(x,y)$.
8. Tutte le funzioni elementari sono differenziabili, dove sono definite.
9. Dati un vettore ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$ e un punto $P$$P$, se indico con $\partial _{\boldsymbol {v}}$$\partial _{\boldsymbol {v}}$ la derivata direzionale rispetto a ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$, vale la formula del gradiente:
   $$\partial _{\boldsymbol {v}}(P)=\nabla f(P)\cdot {\boldsymbol {v}}.$$

   $$\partial _{\boldsymbol {v}}(P)=\nabla f(P)\cdot {\boldsymbol {v}}.$$
10. Regola della catena: Consideriamo $f\colon A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$$f\colon A\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, sia $g\colon B\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}$$g\colon B\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}$. Sia $x_{0}\in A$$x_{0}\in A$ e supponiamo che $f$$f$ sia differenziabile in $x_{0}$$x_0$. Allora la jacobiana di $f$$f$ in $x_{0}$$x_0$ è la matrice che ha come righe i gradienti delle componenti di $f$$f$. Supponiamo che $f(x_{0})=y_{0}$$f(x_{0})=y_{0}$ e $y_{0}\in B$$y_{0}\in B$, allora è ben definita la funzione composta:
    $$h(x)=g\circ f(x)$$

    $$h(x)=g\circ f(x)$$
    in un intorno del punto $x_{0}$$x_0$, e vale la relazione:
    $$J_{H}(x_{0})=J_{g}(f(x_{0}))\times J_{f}(x_{0})$$

    $$J_{H}(x_{0})=J_{g}(f(x_{0}))\times J_{f}(x_{0})$$