Richiami teorici

1. Considero una funzione $\alpha \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$$\alpha \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ di classe $C^{1}$$C^1$ su tutto $[a,b]$$[a,b]$. $\alpha$$\alpha$ si dice curva e l'immagine $\alpha ([a,b])$$\alpha ([a,b])$ si chiama sostegno della curva.
2. Supponiamo di avere una curva di componenti $(x(t),y(t))$$(x(t),y(t))$ con $\alpha '(t)=(x'(t),y'(t))$$\alpha '(t)=(x'(t),y'(t))$ allora si pone:
   $$ds=\vert \alpha '(t)\vert \,dt={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt$$

   $$ds=\vert \alpha '(t)\vert \,dt={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt$$
   e si definisce la lunghezza della curva come
   $$l_{\gamma }=\int _{a}^{b}1\,ds$$

   $$l_{\gamma }=\int _{a}^{b}1\,ds$$
   inoltre si definisce versore tangente alla curva $\alpha$$\alpha$ nel punto $P$$P$ la quantità
   $$T_{\gamma }={\frac {\alpha '(P)}{\vert \alpha '(P)\vert }}$$

   $$T_{\gamma }={\frac {\alpha '(P)}{\vert \alpha '(P)\vert }}$$
3. Sia $D$$D$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ tale che $\alpha ([a,b])\subset D$$\alpha ([a,b])\subset D$ Allora si definisce integrale di $f$$f$ rispetto alla lunghezza d'arco la quantità:
   $$\int _{a}^{b}f(\alpha (t))\vert \alpha '(t)\vert \,dt.$$

   $$\int _{a}^{b}f(\alpha (t))\vert \alpha '(t)\vert \,dt.$$
4. Data una curva $\alpha \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$$\alpha \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ si definisce ascissa curvilinea la quantità
   $$s(t)=\int _{a}^{t}\vert \alpha '(\tau )\vert \,d\tau$$

   $$s(t)=\int _{a}^{t}\vert \alpha '(\tau )\vert \,d\tau$$
   e la curva
   $$\Gamma \colon (0,l(\gamma )\to \mathbb {R} ^{n}\,t.c.\,\Gamma =\gamma \circ s^{-1}$$

   $$\Gamma \colon (0,l(\gamma )\to \mathbb {R} ^{n}\,t.c.\,\Gamma =\gamma \circ s^{-1}$$
   è detta rappresentazione di $\gamma$$\gamma$ in termini dell'ascissa curvilinea.