Nel capitolo precedente abbiamo osservato che ad ogni funzione integrabile su compatti di
è possibile associare un funzionale lineare definito come
,
. In questo capitolo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzi tutto è necessario introdurre il concetto di topologia su
per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare
.
Per poter definire la topologia sul duale, si inizia definendo quella su
. Tuttavia, data una successione
in
si hanno due problemi nel voler definire quando
perché:
- Si deve richiedere che anche
e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;
- Si deve richiedere che
abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si richierebbe di avere
su 
Pertanto per definire il concetto di topologia su
è necessario richiedere che tutti i
abbiano stesso supporto compatto
e che
si abbia
multiindice.
Avendo definito il concetto di topologia su
, ora è possibile definire quello sul suo duale.
Definizione
Sia
. Si dice che esso è continuo se

Da cui segue la definizione di distribuzione:
Definizione (Distribuzione)
Si definisce distribuzione un funzionale lineare continuo sulle funzioni di test, ovvero continuo su
.
Osserviamo che
definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:

Dunque:

Quindi effettivamente

è una distribuzione.
Lo spazio delle funzioni test,
, spesso si indica con
, mentre il suo duale algebrico con
ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui
si omette in
e
. Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:
Definizione (Supporto di una distribuzione)
si annulla nell'aperto
se
. Si consideri
, unione degli aperti su cui
si annulla. Il complementare di questo insieme, che sarà chiuso, si dice supporto di
.
Nel capitolo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come
.
è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la
di Dirac e il valor principale di
che saranno oggetto di studio del prossimo capitolo.