Caratterizzazione delle distribuzioni

Nel capitolo precedente abbiamo osservato che ad ogni funzione integrabile su compatti di $\mathbb {R} ^{n}$${\mathbb {R}}^{n}$ è possibile associare un funzionale lineare definito come $T_{f}=\int _{\Omega }f\phi dx$$T_f=\int_{\Omega}f\phi dx$, $\forall \phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$$\forall\phi\in C^{\infty}_0(\Omega)$. In questo capitolo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzi tutto è necessario introdurre il concetto di topologia su $\left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$$\left(C^{\infty}_0(\Omega)\right)^{\star}$ per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare $T_{f}$$T_f$. Per poter definire la topologia sul duale, si inizia definendo quella su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$. Tuttavia, data una successione $\left\lbrace \phi _{n}\right\rbrace$$\left\lbrace \phi_n\right\rbrace$ in $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$ si hanno due problemi nel voler definire quando $\phi _{n}\rightarrow \phi$$\phi_n\rightarrow\phi$ perché:

• Si deve richiedere che anche $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$$\phi\in C^{\infty}_0(\Omega)$ e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;

• Si deve richiedere che $\phi _{n}$$\phi_n$ abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si richierebbe di avere $\phi _{n}\rightarrow \phi$$\phi_n\rightarrow \phi$ su $\partial \Omega$$\partial \Omega$

Pertanto per definire il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$ è necessario richiedere che tutti i $\phi _{n}$$\phi_n$ abbiano stesso supporto compatto $K$$K$ e che $\forall x\in K$$\forall x\in K$ si abbia $\sup _{x\in K}\mid \partial ^{\alpha }\phi _{n}-\partial ^{\alpha }\phi \mid {\underset {n\rightarrow 0}{\rightarrow }}0,\;\forall \alpha$$\sup_{x\in K}\mid \partial^{\alpha}\phi_n-\partial^{\alpha}\phi\mid\underset{n\rightarrow 0}{\rightarrow}0,\;\forall \alpha$ multiindice. Avendo definito il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$, ora è possibile definire quello sul suo duale.

Definizione

Sia $T_{f}\in \left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$$T_f \in \left(C^{\infty}_0(\Omega)\right)^{\star}$. Si dice che esso è continuo se

$$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(\phi ),\;\forall \phi _{n}{\underset {C_{0}^{\infty }(\Omega )}{\rightarrow }}\phi$$

$$T_f(\phi_n)\rightarrow T_f(\phi),\;\forall \phi_n\underset{C^{\infty}_0(\Omega)}{\rightarrow}\phi$$

 

Da cui segue la definizione di distribuzione:

Definizione (Distribuzione)

Si definisce distribuzione un funzionale lineare continuo sulle funzioni di test, ovvero continuo su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$.

 

Osserviamo che $T_{f}$$T_f$ definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:

$$\left|T_{f}(\phi _{n})\right|=\left|\int _{\Omega }f(x)\phi (x)dx\right|\leq \sup _{x\in K}\left|\phi _{n}(x)\right|\int f(x)dx{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$$

$$\left|T_f(\phi_n)\right|=\left| \int_{\Omega}f(x)\phi(x)dx\right|\leq \sup_{x\in K}\left|\phi_n(x)\right|\int f(x)dx\underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow}0$$

Dunque:

$$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(0),{\text{ se }}\phi _{n}\rightarrow 0$$

$$T_f(\phi_n)\rightarrow T_f(0), \text{ se } \phi_n\rightarrow 0$$

Quindi effettivamente $T_{f}$$T_f$ è una distribuzione.

Lo spazio delle funzioni test, $C_{0}^{\infty }(\Omega )$$C^{\infty}_0(\Omega)$, spesso si indica con ${\mathcal {D}}(\Omega )$$\mathcal{D}(\Omega)$, mentre il suo duale algebrico con ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$$\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$$\Omega=\mathbb{R}^n$ si omette in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ e ${\mathcal {D}}^{\prime }$$\mathcal{D}^{\prime}$. Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:

Definizione (Supporto di una distribuzione)

$T\in {\mathcal {D}}^{\prime }$$T \in \mathcal{D}^{\prime}$ si annulla nell'aperto $A\subset \mathbb {R} ^{n}$$A\subset \mathbb{R}^n$ se $T_{f}(\phi )=0\,\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(A)$$T_f(\phi)=0\,\forall\,\phi\in \mathcal{D}(A)$. Si consideri $\bigcup A$$\bigcup A$, unione degli aperti su cui $T$$T$ si annulla. Il complementare di questo insieme, che sarà chiuso, si dice supporto di $T$$T$.

 

Nel capitolo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come $T_{f}$$T_f$. $T_{f}$$T_f$ è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la $\delta$$\delta$ di Dirac e il valor principale di ${\frac {1}{x}}$$\frac{1}{x}$ che saranno oggetto di studio del prossimo capitolo.