Proprietà generali

Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:

$${\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,\left({\text{oppure }}u_{t}-\Delta u=0\right)\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$$

$$\begin{cases} u_{tt}-\Delta u=0,\left(\text{oppure } u_t-\Delta u=0\right)\\ u\mid_{\partial \Omega}=0 \end{cases}$$

Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti ad equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda ${\mathcal {L}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$$\mathcal{L}=-\frac{d^2}{dx^2}$. Ora vogliamo ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire chi sono, e come si trovano, i numeri $\lambda$$\lambda$ tali che:

$${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u,\,\in \Omega \\B.C.\end{cases}}$$

$$\begin{cases} -\Delta u=\lambda u,\,\in\Omega\\ B.C. \end{cases}$$

Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.

Innanzi tutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta $u(x,t)=e^{i\lambda t}v(x)$$u(x,t)=e^{i\lambda t}v(x)$ la soluzione (o presunta tale) dell'equazione $u_{tt}-\Delta u=0$$u_{tt}-\Delta u=0$, si ricava:

$$\Delta v(x)=-\lambda ^{2}v(x)$$

$$\Delta v(x)=-\lambda^2v(x)$$

Che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:

$$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi +V(x)\psi ,\;\psi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C} ,\;V:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$$

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla \psi+V(x)\psi,\;\psi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C},\;V:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$$

Posto $\psi (x,t)=e^{-iEt}\phi (x)$$\psi(x,t)=e^{-iEt}\phi(x)$ si ottiene:

$$\left(-{\frac {1}{2}}\nabla +V\right)\phi =E\phi$$

$$\left(-\frac{1}{2}\nabla+V\right)\phi=E\phi$$

Detto ${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}V+H$$\hat{H}=-\frac{1}{2}V+H$, si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:

$${\hat {H}}\psi =E\psi$$

$$\hat{H}\psi=E\psi$$

Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che $\psi \in {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})$$\psi\in\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^3)$.

Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:

• L'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su ${\mathcal {D}}(\Delta _{D,N,R})$$\mathcal{D}(\Delta_{D,N,R})$;

• L'operatore laplacaiano è un operatore simmetrico su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$$\mathcal{L}^2(\Omega)$

Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale:

Teorema (1)

Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:

• Gli autovalori di $\Delta _{D,N,R}$$\Delta_{D,N,R}$ sono reali;

• Le autofunzioni possono essere prese reali;

• Ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;

• Gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.

 

Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

Teorema (2)

• Gli autovalori di $\Delta _{D}$$\Delta_D$ sono positivi;

• Gli autovalori di $\Delta _{N}$$\Delta_N$ sono non negativi, e $\lambda =0$$\lambda=0$ è autovalore;

• Gli autovalori di $\Delta _{R}$$\Delta_R$ sono non negativi se $\alpha (x)\geq 0$$\alpha(x)\geq 0$

 

Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto ad un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo capitolo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.