Le grandezze del moto

La "traiettoria" di una particella si descrive in modo relativisticamente covariante fornendo una curva nello spaziotempo, ove è un parametro. Questa curva descrive effettivamente la traiettoria di una particella se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

La prima condizione implica che (il tempo) sia funzione monotona crescente del parametro , e perciò può essere invertita per determinare in funzione del tempo. In questo modo la legge oraria può essere ricavata eliminando in favore del tempo in . Se riscriviamo in questo modo la seconda condizione:

ci rendiamo conto di come essa sia necessaria affinché la particella non assuma velocità maggiori di . Dato che in generale il cono luce di un quadrivettore è l'ipersuperficie individuata da , la seconda condizione seleziona per ogni l'interno del cono luce della particella, mentre la prima condizione ne seleziona la metà che si trova nel futuro. Dunque, queste due condizioni assicurano che per ogni valore del parametro la linea d'universo della particella sia sempre causale (cioè interna al cono luce, e tale che anche il suo vettore tangente lo sia) e diretta verso il futuro.

Vale inoltre l'invarianza per riparametrizzazione, ossia è sempre possibile effettuare il cambio di parametro invertibile di modo tale che , e rappresenta sempre la stessa traiettoria. Per via di questa "ridondanza", fra queste quattro le funzioni fisicamente rilevanti sono tre (si ha la stessa informazione che nel caso non relativistico): infatti una delle rappresenta il tempo della particella, e chiamandola ovviamente si può porre:

L'informazione fisica rilevante è dunque contenuta in tre delle quattro funzioni. Questa ridondanza può essere sfruttata per fare scelte particolarmente utili. Le due più importanti sono:

Questo tipo di descrizione rompe esplicitamente l'invarianza di Lorentz. Con questa scelta si ha:

Notare che quest'ultimo non è un quadrivettore.

In questo caso è il cosiddetto tempo proprio della particella, ossia il tempo misurato in un sistema di riferimento inerziale istantaneamente solidale con la particella. In questo caso si ha:

Dal punto di vista geometrico, il è la distanza invariante fra due punti infinitamente vicini sulla traiettoria spaziotemporale del corpo. Dunque:

e, come noto è uno scalare di Lorentz, e questo è il motivo per il quale lo si usa molto spesso. Pertanto, è un quadrivettore, detto quadrivelocità:

Si ha che:

In base a ciò si possono definire altre grandezze:

  • Il quadrimomento:

Si ha che la sua componente temporale è l'energia della particella, mentre quella spaziale è il suo impulso

  • La quadriaccelerazione:

Si vede facilmente che . Infine, , ossia la quadriaccelerazione nel sistema di riferimento istantaneamente solidale con la partiella ha come componenti spaziali l'accelerazione stessa della particella in un sistema di riferimento inerziale.

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