Sviluppo in multipoli

Cominciamo dal caso non relativistico. Supponiamo che la corrente vari apprezzabilmente su scale di tempo dell'ordine di un dato , ossia se . Se dunque fosse piccolo rispetto a potremmo trascurarlo nella valutazione di ; ma quand'è che questo è vero? Cerchiamo innanzitutto un modo per stimare .

Esempio

è la corrente generata da particelle cariche in moto con velocità contenute in una regione di spazio finita di dimensione . In questo caso l'unica stima ragionevole di è:

Per poter eseguire l'approssimazione non relativistica, dunque, abbiamo bisogno che . Poiché , ciò è verificato se , ossia se , che è proprio il caso non relativistico.

 
Esempio

è una corrente di lunghezza d'onda , ossia di periodo , che è anche il tempo caratteristico. Pertanto, è trascurabile se è piccolo rispetto a , e ciò è vero se , con dimensioni del sistema.

 


In casi come questi, dunque, si può espandere :

o, reintroducendo le :

I termini di questo sviluppo si dicono multipoli, e il tipo di approssimazione prende un nome diverso in base a quali termini si trascurano e quali no.

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