Effetto Čerenkov

È la prima (e l'ultima) applicazione che vedremo dell'elettromagnetismo in un mezzo materiale. L'effetto Čerenkov consiste nell'osservazione di radiazione emessa da parte di una soluzione dielettrica (tipicamente acqua) quando questa viene investita da radiazione altamente energetica, ad esempio raggi . La radiazione osservata è tipicamente bluastra (vicina all'ultravioletto) e viene emessa con un angolo ben preciso rispetto alla direzione della radiazione incidente, e quest'angolo dipende solo dall'energia dei raggi e dall'indice di rifrazione del mezzo. Ciò che accade è che i raggi urtando gli atomi d'acqua possono mettere in moto gli elettroni (per effetto Compton), i quali iniziano dunque a muoversi a velocità sostanzialmente costante nel mezzo; questa velocità può però essere molto grande; come vedremo, se è la velocità degli elettroni e è la velocità della luce nel mezzo (, con costante dielettrica del mezzo, e indice di rifrazione dello stesso; dunque , perché tipicamente ), allora se si ha emissione di radiazione, anche se la velocità delle particelle è costante. L'effetto Čerenkov ha anche interessanti applicazioni teoriche (ad esempio, se esistessero particelle che si muovono a velocità maggiori di quella della luce nel vuoto, i cosiddetti tachioni, allora questi dovrebbero emettere per effetto Čerenkov), ma noi non ce ne occuperemo.


Cominciamo, dunque, riscrivendo le equazioni di Maxwell nel mezzo. Trascurando qualunque effetto dovuto alla suscettibilità magnetica (dunque ), possiamo riscriverle effettuando le seguenti sostituzioni:

Dunque (tralasciamo le equazioni relative alle identità di Bianchi, perché come già detto più volte non sono vere e proprie equazioni dinamiche):

A partire da queste, vogliamo studiare la radiazione emessa da una particella carica con velocità costante[1] . Poiché tutti i risultati che abbiamo ottenuto nel vuoto relativamente alle onde elettromagnetiche erano conseguenza delle equazioni di Maxwell (nel vuoto), e che quelle in un mezzo materiale si ottengono attraverso le sostituzioni viste sopra, allora tutte le proprietà delle onde elettromagnetiche in un mezzo si otterranno da quelle del vuoto con le stesse sostituzioni. Se chiamiamo la linea d'universo della particella, nel vuoto si avrà:

Le dimensioni di devono essere quelle di una carica fratto una lunghezza; verifichiamo se è così anche in questo caso, e se così non fosse inseriamo delle opportune potenze di . Si ha:

ove abbiamo sfruttato il fatto che la ha sempre come dimensione l'inverso della dimensione del suo argomento (altrimenti l'integrale della su tutto il suo dominio di definizione non potrebbe essere un numero puro). Pertanto, effettivamente, , e dunque non è necessario introdurre nessuna . Nel mezzo, quindi:

Il pedice all'interno dell'argomento della sta a indicare che il prodotto scalare non è quello di Minkowski, ma è diverso per via della comparsa di fattori nell'argomento, i quali si "portano dietro" delle nell'applicare le sostituzioni viste prima; in particolare, abbiamo posto:

Supponendo ora che la particella che stiamo considerando si muova lungo l'asse , poiché il suo moto è rettilineo uniforme allora , con . A questo punto, dobbiamo determinare i valori di tali che e . Se fossimo nel vuoto sappiamo che queste due condizioni ammettono un'unica soluzione; vedremo adesso che ciò non è più vero nel mezzo, come conseguenza del fatto che il prodotto scalare non è più quello di Minkowski. Si ha:

ove:

Se ora chiamiamo , poniamo .

R cerenk.svg

Allora:

L'equazione ha soluzioni reali se e solo se il suo discrimimante è non nullo:

Scritta così, quest'espressione non è molto illuminante; cerchiamo di comprenderne meglio il significato:

R ang cerenk.svg

Con queste notazioni, l'espressione diventa . Le soluzioni di , dunque, si trovano nella zona:

Sol cer.svg

(notare che affinché ciò abbia senso è necessario che , ossia che la particella si muova a velocità maggiori di quella della luce nel mezzo). Dobbiamo però imporre anche la condizione . Si verifica (il conto è lasciato per esercizio) che questa condizione è soddisfatta se e solo se ; dunque, le soluzioni che stiamo cercando si trovano nella zona:

Sol fin cer.svg

Inoltre, gli che soddisfano e la condizione sono due: esistono quindi due soluzioni distinte (e non una come nel vuoto).

Cono cerenk.svg

Possiamo anche capire intuitivamente perché ciò accada: nel mezzo materiale il cono luce di sarà più "stretto" di quello che si avrebbe nel vuoto (perché la velocità della luce è minore), e la linea d'universo della particella sarà una retta (perché si muove di moto rettilineo uniforme). Poiché però la retta ha un'inclinazione maggiore di quella delle pareti del cono luce nel mezzo (ma ovviamente minore di quello nel vuoto) lo interseca in due punti.

Supponiamo ora di iniziare a osservare il fronte d'onda emesso dalla particella all'istante ; questo fronte si propagherà a velocità , mentre la particella a velocità . Dopo un tempo , la particella ha coordinata pari a , e il fronte d'onda si è propagato fino alla distanza dal punto in cui è stato generato:

Fronte cerenk.svg

Nei punti intermedi possiamo disegnare i fronti d'onda emessi, perché la retta che congiunge il primo fronte alla particella è quella che (ovviamente) delimita tutti i fronti emessi successivamente; la radiazione, insomma, è visibile solo nel cono composto dagli inviluppi dei fronti d'onda. Valutiamo l'apertura angolare di questi fronti; considerando il triangolo rettangolo in figura:

che è proprio l'angolo che abbiamo determinato in precedenza. Quando i fronti d'onda si espandono, le onde risultanti si propagano lungo la direzione perpendicolare al fronte:

Ang cer.svg

ove è detto angolo di Čerenkov, ed è quello che individua la direzione di emissione della radiazione Čerenkov. Come avevamo già detto all'inizio, risulta proprio che dipende solo da e da .


Non ci addentriamo maggiormente nell'argomento, limitandoci a riportare dei risultati. Si ha che:

  • Guardando il campo a grandi distanze, ad esempio , o meglio la sua componente di frequenza , allora si ha:

ove e . Se dunque non ci sono problemi (la radice è reale), mentre se si ha un'onda evanescente[2]. Questo, dunque, conferma che c'è emissione solo se la velocità della particella è maggiore di quella della luce nel mezzo. I campi elettrico e magnetico vanno dunque all'infinito come , e ciò è dovuto alla simmetria cilindrica del sistema; come conseguenza di ciò si ha un flusso di energia non nullo all'infinito. Risulta infatti che la potenza totale emessa è:

che è stata ottenuta integrando il vettore di Poynting su una superficie cilindrica coassiale con l'asse . La misura in questo caso contiene e non proprio perché stiamo usando coordinate cilindriche. Ora, poiché , nel limite si ha un risultato finito.

  • Si può anche vedere che:

(infatti, non sarebbe una quantità ben definita per la simmetria del sistema; integrando infatti anche in divergerebbe). La presenza della conferma il fatto che c'è radiazione solo in una precisa direzione . Inoltre, l'energia emessa dipende da : c'è tanta più energia emessa quanto più grande è la frequenza. Si potrebbe quindi pensare che ci siano delle divergenze: in realtà, abbiamo già notato che l'indice di rifrazione è una funzione della frequenza, e tende a 1 per ; per grandi frequenze, dunque, il mezzo tende a comportarsi come il vuoto, e dunque non c'è emissione. Insomma, il fatto che dipenda da evita che ci siano divergenze nell'energia emessa per grandi frequenze. Il picco delle frequenze nella radiazione emessa avviene per abbastanza grande ma tale da non rendere apprezzabilmente simile a 1, ed è (come osservato) nel blu, tendente all'ultravioletto.

Applicazione pratiche dell'effetto Čerenkov si trovano negli acceleratori: in Super-Kamiokande, ad esempio, dei neutrini cosmici impattano contro dell'acqua, e se hanno abbastanza energia mettono in moto gli elettroni, che dunque emettono radiazione Čerenkov. Studiando questa radiazione, è possibile risalire a informazioni relative ai neturini.

  1. Nota: stiamo considerando come una costante. In realtà ciò non è vero: l'indice di rifrazione del mezzo è una funzione della frequenza della radiazione che lo attraversa, ossia . Questa considerazione ci servirà poi in seguito.
  2. In realtà, in questo caso si ha che . Sostituendo in , otteniamo due soluzioni: un'onda che aumenta esponenzialmente all'infinito, che non ha senso fisico, e una evanescente. La prima va dunque scartata.
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