Teorema e polinomio di Taylor

Il capitolo precedente è stata un'agonia di definizioni, ma è finito col botto: le forme indeterminate sono solo un ricordo, ora che il teorema di de l'Hôpital è stato dimostrato (osservate che, se il limite delle derivate prime è ancora una forma indeterminata, può essere iterato il processo alle derivate seconde,terze ecc.). Abbiamo preannunciato che possiamo approssimare funzioni a polinomi e, per vostra fortuna ( o sfortuna?) non stavamo scherzando. Giusto per farci un'idea, partiamo dalla funzione e vediamo come possiamo approssimarla a un polinomio sfruttando il teorema di de l'Hôpital. Questo algoritmo è macchinoso e può essere fatto per qualsiasi funzione nota, ma Taylor arriverà a salvare la vita (e i neuroni) di noi umani e sarà più facile calcolarli. Ma prima, un po' di sano sadismo matematico.

Approssimazioni polinomiali[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo scelto come cavia . Sappiamo essere derivabile in 0, e la sua derivata vale 1 in 0, quindi:

Che equivale a dire:
Per avere una migliore approssimazione, proviamo a cercare un errore che sia un :
Sfruttiamo il teorema di de l'Hôpital:
Ciò vuol dire che la funzione seno può essere anche scritta come:
Quindi, l'errore che si commette approssimando il seno col polinomio di primo grado è un , che è una migliore approssimazione della precedente. Iteriamo il processo per ottenere un errore di ordine superiore al terzo:
Da cui deduciamo che ; portando il valore al primo membro otteniamo:
Ovvero, più un errore superiore a , ovvero:
Possiamo iterare ancora il processo (stavolta lasciandolo per esercizio), e troveremo una migliore approssimazione del seno pari a:

Tutto questo processo può essere fatto anche per altre funzioni; (per esercizio) possiamo anche calcolare l'approssimazione polinomiale di , ottenendo:

Con questo processo, stiamo iterando a ordini sempre più alti una funzione nota. Questo algoritmo conduce direttamente al famoso polinomio di Taylor.

Taylor: formula, dimostrazione e polinomio[modifica | modifica wikitesto]

Entriamo nel turbine finale in cui approderemo grazie al calcolo differenziale; useremo tutte le conoscenze finora accumulate. Partiamo fin da subito dal fare un breve resoconto del concetto di derivata: cercavamo un ente che descrivesse l'andamento oggettivo della funzione quando questa tendeva ad un punto, e ricavammo la derivata prima, ovvero il coefficiente angolare della tangente alla funzione in quel punto. Utilizzando quindi i simboli di Landau, possiamo riprodurre quello che abbiamo fatto sopra con come segue, tenendo a mente l'equazione della retta tangente:

Attenzione a questa conseguenza diretta e non banale:
Ovvero, la funzione si approssima con quella della sua tangente con un errore che è un infinitesimo di ordine superiore a 1.

Proviamo ad ottenere un'approssimazione più precisa. Supponiamo che la funzione sia derivabile due volte in :

(il calcolo è reso possibile dal teorema di de l'Hôpital). Possiamo riscrivere il seguente limite come:
Oppure, riutilizzando ancora i simboli di Landau (bisognerebbe fargli una statua!):

Nulla di strano? Stiamo ottenendo un polinomio che approssimi la funzione data. Iteriamo ancora una volta, stavolta ci risparmiamo i calcoli (per esercizio, confermate questa conseguenza) e otteniamo che:

Ci sarebbe da aspettarsi una formula generale. Procediamo: teorema, definizione, dimostrazione. E poi avrete un uomo morto da tempo come ottimo sostituto di dio.

Teorema (Formula di Taylor)

Sia derivabile n volte in e sia . Dato , posto per definizione:

Avremo che:
O, per dirla ancora in altri modi:

 


Che strano oggetto sarà mai quel ?

Definizione (Polinomio di Taylor)

Il polinomio utilizzato nell'enunciato del teorema si chiama polinomio di Taylor di grado n della funzione f nel punto e rappresenta un'approssimazione della funzione vicino a .

 


Una piccola informazione: se , il polinomio viene spesso chiamato polinomio di McLaurin.

Osservazione La peculiarità del polinomio di Taylor sta nel fatto che il resto definito come:

È nient'altro che un infinitesimo di ordine superiore a per .

Procediamo a dimostrare il teorema di Taylor.

Dimostrazione

Prendiamo in analisi il limite:

E applichiamo il teorema di de l'Hôpital, ottenendo:
Osserviamo che sia numeratore che denominatore sono infinitesimi, possiamo quindi applicare nuovamente il teorem di de l'Hôpital:
Iteriamo volte il processo (non siamo pazzi da farlo manualmente), ottenendo:
Mettendo in evidenza il primo termine e il risultato finale, sappiamo che:
Portando tutto al primo membro:
Ovvero la conclusione.

 


Come utilizzare questo potentissimo strumento? Procediamo funzione per funzione, rimboccandoci le maniche, e otteniamo i polinomi (o serie, come vedremo) di Taylor associati ad esse.

  1. Esponenziale in Prendiamo come primo esempio nel caso in cui .Osserviamo immediatamente che qualsiasi derivata di è essa stessa ; poiché , sia ha che per qualsiasi derivata. È immediato il polinomio di Taylor, che è scrivibile in forma compatta di serie:
    Si noti che la serie di Taylor per l'esponenziale coincide con la definizione data nella sezione delle serie numeriche (casualità?). Per la situazione non è così diversa:
    .
  2. Funzioni goniometriche in Partiamo da ; osserviamo che tutte le derivate pari sono (a meno di cambi di segno) dei seni, mentre le derivate dispari sono coseni, ovvero:
    Poiché , abbiamo che:
    Ne otteniamo il polinomio (o serie) di Taylor per il seno:
    Per la funzione coseno la situazione è analoga e inversa; ci risparmiamo i calcoli (semplici e immediati dati quelli per il seno, si consiglia di farli per esercizio) e otteniamo immediatamente il polinomio di Taylor per il coseno:
  3. Altre funzioni
    • Prendiamo ora in analisi e . Le derivate della funzione sono:
      Da cui:
      Il polinomio di Taylor in questo caso è immediato e vale:
      Coerentemente con l'espressione della serie geometrica precedentemente data.
    • Analizzeremo un ultimo caso:, sempre nel caso . Le derivate di f sono:
      Quindi ci troviamo nella situazione:
      Quindi il polinomio ottenuto sarà:

Ci resta da analizzare un'ultima cosa: nella definizione del polinomio di Taylor, dicemmo che il resto della differenza tra la funzione ed esso era un infinitesimo di ordine superiore a per . Si può calcolare esplicitamente questo resto? La risposta è affermativa e lo dimostreremo attraverso il prossimo teorema.

Teorema (Resto in forma di Lagrange)

Sia derivabile volte; allora tale che:

 


Osservazione prima della dimostrazione: il primo termine della somma è il polinomio di Taylor per la funzione, il secondo termine è proprio il resto che cerchiamo.

Dimostrazione

Consideriamo le funzioni:

Osserviamo che , quindi possiamo applicare il teorema di Cauchy alle funzioni:

La relazione è valida per qualche . Derivando le due funzione F e G:

Se è possibile riapplicare il teorema di Cauchy, trovando un (quindi anche )per cui:
Iteriamo il processo volte, dimostrando l'esistenza di un tale che:
Osserviamo che e , deduciamo (attenzione poniamo qui ):
Ricordando le definizioni di F e G otteniamo la conclusione:
Come volevasi dimostrare.

 


Essenzialmente, abbiamo finito con la teoria. Il calcolo differenziale ci ha portati lontani, molto lontani nello studio delle funzioni attorno a determinati punti: possiamo adesso calcolare limiti di forme indeterminate, disegnare un grafico probabile della funzione, approssimarla a polinomi nell'intorno di determinati punti... Insomma, ce ne siamo dette tante e abbiamo scoperto cose che non stanno ne' in cielo ne' in terra. Nella prossima sezione tratteremo il calcolo di aree e scopriremo come tutto questo sia collegato anche al problema di calcolare aree di perimetri non conosciuti.

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