Teorema di Lagrange

Dalla definizione di derivata abbiamo visto come essa descriva l'andamento generico di una funzione nell'intorno di un punto; tuttavia, come abbiamo visto, quando non si può dire apparentemente nulla sull'andamento della funzione intorno a quel punto. Possiamo però definire il seguente ente e trarne le conclusioni.

Definizione (Punto stazionario)

Sia derivabile e sia un punto nel dominio della funzione tale che . Diciamo che è punto stazionario

 


In generale, possono essere due i casi in cui la derivata prima può essere nulla: quando si un punto di estremo relativo oppure in caso di flesso a tangente orizzontale. I due casi si distinguono studiando il segno della derivata prima: se la derivata cambia segno nel punto , vuol dire che si ha un estremo relativo; se il segno resta concorde sia prima che dopo vuol dire che è un flesso a tangente orizzontale o, più semplicemente, flesso orizzontale. I punti di flesso verranno studiati più attentamente nel prossimo capitolo, quando studieremo le caratteristiche delle derivata successive di una funzione. In questo capitolo ci limiteremo a studiare le proprietà della derivata prima, enunciando e dimostrando uno dei teoremi più importanti del calcolo differenziale.

Abbiamo parlato di estremi relativi, senza però definirli. Iniziamo dal colmare questa lacuna.

Definizione (Estremo relativo)

Sia una funzione derivabile. Diremo che è massimo relativo (rispettivamente, minimo relativo) se, preso un intorno di vale:

 


Ricordando le definizioni di massimo e minimo assoluto, si può notare che entrambi sono punti di estremo relativo; in questo caso particolare, parleremo di estremo assoluto nel dominio di . Da quel che abbiamo detto, si può notare che i punti di estremo relativi sono anche punti stazionari per la funzione. Iniziamo ad avere una maggiore conoscenza di come studiare il comportamento di una funzione, ma andiamo adesso ad enunciare un teorema importantissimo.

Teorema (di Lagrange)

Sia una funzione definita e continua in un intervallo , e derivabile in . Allora esiste almeno un tale che:

 


Dal punto di vista grafico, ciò significa che, nell'intervallo di definizione della funzione esisterà almeno un punto (possono ovviamente essercene più di uno) in cui la tangente al grafico è parallela alla retta passante per gli estremi dell'intervallo. Per una più chiara comprensione:

Mvt2 italian

La dimostrazione di questo teorema prevede l'utilizzo delle ipotesi di un altro teorema, che ora dimostreremo.

Teorema (di Rolle)

Sia definita e continua in un intervallo e derivabile in , tale che . Allora esiste almeno un punto tale che:

 


Osservazione preliminare Intuitivamente, se una funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo vuol dire che, nell'intervallo, ci deve essere almeno un punto di estremo relativo. Dimostriamolo rigorosamente.

Dimostrazione (del Teorema di Rolle)

Le ipotesi del teorema ( continua sul compatto ) soddisfano quelle del teorema di Wierestrass, per cui la funzione assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo . Definiamo quindi:

Distinguiamo due casi.

Se , avremo che la funzione è costante, e quindi avremo anche ; la derivata di una costante è sempre nulla, quindi la tesi è dimostrata.

Se , possono esserci vari casi. Prendiamo come esempio quello in cui sia presente un solo punto di massimo, e che il minimo coincida con il valore assunto agli estremi dell'intervallo (in tutti gli altri casi la dimostrazione è analoga). Avremo quindi che:

E quindi:
Passando al limite per da sinistra e da destra, che esistono e coincidono per ipotesi di derivabilità, abbiamo che:
Abbiamo che
Da cui la conclusione.

 


Per comprendere meglio graficamente la situazione che si sta analizzando, si può far riferimento alla seguente immagine:

Rolle's theorem 2

Ovviamente, la funzione può non essere definita su un intervallo, bensì su unione di intervalli o, come il caso della figura, su tutto l'insieme dei reali. Si può operare sul dominio per farlo coincidere con le ipotesi del teorema per poi applicarlo. Come abbiamo appena visto è infatti essenziale al fine della validità del teorema che si lavori su un insieme compatto, quindi in su un intervallo chiuso e limitato.

Passiamo alla dimostrazione del Teorema di Lagrange.

Dimostrazione (del Teorema di Lagrange)

Sia definita e continua in e derivabile in . Definiamo la seguente funzione:

Tale funzione rappresenta la distanza verticale tra il grafico di e la retta secante passante per i due estremi. Notiamo che è continua e derivabile negli intervalli chiuso e aperto; inoltre abbiamo che:
Quindi soddisfa tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, ed esisterà un valore tale che . Abbiamo quindi che:
Come volevasi dimostrare.

 


Detto questo, non possiamo fermarci qui; il teorema in sé e per sé potrebbe addirittura sembrare completamente inutile allo scopo dello studio differenziale, questo da una prima occhiata. In realtà, il teorema di Lagrange è tutt'altro che innocuo, anzi: è uno strumento potentissimo che ci permette, fin da subito, di analizzare alcuni comportamenti delle funzioni a seconda di come si comportano le derivate prime. Vediamo, quindi, le conseguenze del teorema di Lagrange e come queste siano fondamentali nello studio di funzioni.

Teorema

Sia continua in e derivabile in . Se

Possiamo affermare che è strettamente crescente in .

 


Ne abbiamo già parlato di questa caratteristica della derivata prima, ma adesso possiamo dimostrarla rigorosamente sfruttando il teorema di Lagrange.

Dimostrazione

Per ipotesi, la derivata prima è strettamente positiva in tutto l'intervallo di definizione; prendiamo due punti tali che . Per il teorema di Lagrange esiste tale che:

Ma, dato che per ipotesi , il termine al secondo membro è positivo e, per essere soddisfatta la relazione, ne consegue che:

 


Allo stesso modo si dimostra l'inverso, ovvero che se la derivata prima è strettamente negativa nell'intervallo di definizione, la funzione è strettamente decrescente. Continuiamo su questo ritmo e dimostriamo rigorosamente qualcosa che avevamo già detto in precedenza.

Teorema

Sia continua in e derivabile in . Se

Possiamo affermare che è costante in .

 


Anche questa volta, nulla di nuovo per noi; procediamo con la dimostrazione.

Dimostrazione

Prendiamo due punti ; per il teorema di Lagrange esiste un punto tale che:

Per ipotesi la derivata prima è sempre nulla, ne consegue che:

 


Arriviamo infine ad una proposizione particolarmente importante: sfruttando per l'ennesima volta (e non sarà l'ultima) il teorema di Lagrange, studiamo la derivabilità nell'intorno di un punto tramite i limiti della derivata.

Proposizione

Sia ; sia continua e derivabile in . Supponiamo che esistano e siano finiti i limiti destro e sinistro della derivata prima:

Allora è derivabile in se e solo se

 


Dimostrazione

Sfruttiamo ancora una volta il teorema di Lagrange:

Dove sono punti compresi in . Passando ai limiti da destra e da sinistra, per , che sappiamo esistere ed essere limitati, otteniamo:
Ricordiamo che, per ipotesi, è derivabile in tutto l'intorno di , quindi, dalla definizione di derivata, ne consegue che

 


Approssimazione dell'errore[modifica | modifica wikitesto]

Fin qui, il nostro utilizzo indiscriminato del teorema di Lagrange non ha fatto altro che confermare osservazioni già precedentemente fatte. È arrivato il momento di sfruttare completamente quest'arma per iniziare ad avere un'idea più chiara di come si lavora nel calcolo differenziale e di come si può, al meglio, sfruttare le derivate e le loro proprietà per calcoli approssimativi di valori di funzioni.

Partiamo con un problema generico che spesso può capitare: dover calcolare il valore di una funzione in un punto. Prendiamo per esempio il caso in cui volessimo calcolare il valore di . Come procedere? Dalla definizione di derivata, possiamo pensare di approssimare il valore della funzione nel punto con quello della sua retta tangente nel punto, ovvero:

Che errore, però, andiamo a commettere compiendo questa approssimazione? Supponendo che sia derivabile due volte nell'intervallo, con , ovvero derivata seconda limitata, quello che vogliamo calcolare è il valore di
Applicando il teorema di lagrange, preso un punto , otteniamo:
Applichiamo ancora una volta il teorema di Lagrange, stavolta prendendo otteniamo:
Ciò che dobbiamo calcolare è il valore assoluto di questa quantità; avendo per ipotesi la derivata seconda limitata, osserviamo anche che , possiamo stimare l'errore come:

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