Studio asintotico

Lo studio asintotico si pone come obiettivo quello di studiare il comportamento delle funzioni nei punti estremanti del dominio. Possono esistere 3 tipi i asintoti: verticale, orizzontale e obliquo. Vediamo i vari casi in cui si presentano i diversi asintoti e come calcolarli.

Definizione (Asintoto verticale)

Sia ; sia (ovvero non sia definita in un punto dell'intervallo). Diremo che ha un asintoto verticale in di equazione se:

 


È indifferente che i limiti destro e sinistro coincidano; si possono avere infiniti di segno concorde, discorde o presenti solo a destra o sinistra del punto. In questo caso particolare, chiameremo un asintoto verticale destro (o sinistro)

Definizione (Asintoto orizzontale)

Sia ; sia . Diremo che ha un asintoto orizzontale di equazione se:

 


Se , parleremo di asintoto orizzontale sinistro; se allora diremo asintoto orizzontale destro.

Osservazione Si noti che presenta due asintoti orizzontali, uno destro e uno sinistro, per .

Un esempio di asintoto verticale è invece , che presenta infiniti asintoti verticali.

Se, quando si ha , è ovvio che non è presente un asintoto orizzontale. Si potrebbe non dire nulla sull'andamento della funzione a questo punto, ma definiamo l' asintoto obliquo e vediamo che potrebbe essere presente.

Definizione (Asintoto obliquo)

Sia , come per l'asintoto orizzontale. Se esistono tali che:

Diremo che è l' asintoto obliquo della funzione.

 


A questo punto, resta solo da determinare i valori delle costanti. Osserviamo che, se è vera la definizione:

Quindi, qualora esistesse e fosse finito, per determinare il coefficiente angolare della retta basta calcolare il Per calcolare la costante , a questo punto, non resta che calcolare il . Se esiste ed è finito, abbiamo la retta a cui il grafico della funzione tende all'infinito.

Terminiamo con un elenco di come studiare il comportamento asintotico di una funzione.

  1. Studio dei limiti della funzioni ai punti estremanti del dominio, riconoscendo i vari casi, se presenti;
  2. Nel caso fosse possibile l'esistenza di un asintoto obliquo, procedere:
    1. Calcolando ;
    2. Calcolando quindi .

Un riassunto di tutte le informazioni ricavabili sull'andamento della funzione è dato nel prossimo capitolo.

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