Sommario sullo studio di funzione

Sommario[modifica | modifica wikitesto]

  1. Studio del dominio della funzione: in che intervallo è definita la funzione? Dove è continua? Dove è discontinua? Quali sono gli asintoti verticali?Nell'immagine si vede un'iperbole che ha un asintoto verticale in 0.Hyperbola one over x.svg
  2. Considerazioni di parità: La funzione ha qualche particolare simmetria? Ricordiamo che se la funzione è pari, nonchè simmetrica rispetto all'asse y, mentre se la funzione è dispari, nonchè simmetrica rispetto all'origine;
    • esempio di funzione pari: Function x^2.svg
    • esempio di funzione dispari: Function x^3.svg
  3. Studio del segno e degli zeri della funzione: dove la funzione è positiva? dove negativa? dove si annulla?;
  4. Studio dei limiti della funzione per i punti di estremo del dominio e ricerca degli asintoti orizzontali e obliqui:
    • un asintoto orizzontale si ha se (asintoto orizzontale destro)o (asintoto orizzontale sinistro).In particolare se l'asintoto è lo stesso a destra e sinistra (la funzione ha lo stesso andamento asintotico per ); Asymptote03.png
    • un asintoto obliquo si ha se la funzione tende a o a a una retta di equazione . Se tale retta esiste, ossia se ,i suoi parametri sono determinati dalle equazioni:
      1-over-x-plus-x abs.svg
  5. Studio della derivabilità e calcolo della derivata prima:
    • nei punti di non derivabilità la funzione può presentare una cuspide , un flesso a tangente verticale o un punto angoloso
      • cuspide:i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti con segno opposto. Cusp function.svg
      • flesso a tangente verticale:i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti con segno concorde.Vertical tangent.svg
      • punto angoloso:i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale esistono finiti ma non coincidenti. Punto angoloso.png
  6. Studio del segno e degli zeri della derivata prima: dove è crescente, dove è descrescente;
  7. Determinare punti di minimo, massimo e flesso orizzontale della funzione. Tali punti sono tutti caratterizzati dall' avere e si distinguono per l'andamento della derivata in un intorno del punto:
    • minimo: la funzione è descrescente a sinistra del punto ( per )e crescente a destra ( per )
    • massimo: la funzione è crescente a sinistra del punto ( per ) e descrescente a destra ( per )
    • flesso orizzontale: la derivata prima non cambia segno in un intorno del punto.
  8. Studio della derivata seconda, determinando intervalli di convessità, concavità e punti di flesso obliqui;
  9. Disegnare un grafico probabile della funzione.

Esempio di studio di funzione[modifica | modifica wikitesto]

Studiamo la funzione

Studio del dominio

Le condizioni di esistenza da porre sono:

La funzione dunque è definita negli intervalli .Possiamo avere asintoti verticali per , , che studieremo nel dettaglio quando faremo i limiti agli estremi del dominio.

Considerazioni di parità

Studio del segno e degli zeri

  1. segno del numeratore:
  2. segno del denominatore:
  3. zeri: li trovo imponendo l'annullarsi del numeratore

Riassumendo quanto detto:

Limiti agli estremi del dominio

controllo: è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

controllo: è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

controllo: è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

controllo: è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

controllo: è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

controllo:è un risultato coerente con il segno della funzione nell'intervallo considerato? Sì!

  1. asintoti orizzontali: nessuno
  2. asintoti verticali:
  3. asintoti obliqui:
    asintoto obliquo

Derivata

  1. punti di non derivabilità: Poichè i possibili punti di non derivabilità sono , già esclusi dal dominio, ove la funzione è continua è anche derivabile
    • segno numeratore:
      Il polinomio di terzo grado presenta 3 zeri, due minori di 0, siano e uno maggiore di 0,sia , determinabili in valore con metodi di approssimazione numerica ma facilmente individuabili da un semplice studio di funzione. Il numeratore è scomponibile in ,si annulla in ed è positivo negli intervalli
    • segno denominatore: sempre positivo all'interno del dominio.

Saltiamo lo studio della derivata seconda e procediamo al disegno del grafico mettendo insieme le informazioni ricavate.

Sommario-Studio-Funzione2.svg
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