Punti di non derivabilità

Dalla definizione di derivata abbiamo visto che il limite deve esistere ed essere limitato affinché la funzione possa essere derivabile nel punto. Ci sono ovviamente casi in cui ciò non avviene e la funzione risulta non derivabile in un intorno del punto. In punti di non derivabilità sono diversi e li studiamo caso per caso, a seconda di come si presenta il limite della derivata prima. Da questo elenco è escluso il caso in cui la funzione non sia definita nel punto e il limite della derivata prima è infinito: gli asintoti verranno studiati più avanti in questa sezione.

1. Punto angoloso

Definizione (Punto angoloso)

Supponiamo esista e sia finito il limite della derivata prima in , ma sia presente la seguente situazione:

Diremo che è un punto angolo.

 


Un esempio di punto angolo è per

Punto angoloso.png

2. Cuspide

Definizione (Cuspide)

Supponiamo il limite della derivata prima esista e non sia finito e sia presente la seguente situazione:

Diremo che è una cuspide.

 


Osservazione Per esserci cuspide, la funzione deve essere definita in e i limiti della derivata prima devono essere infiniti e discordi.

Un esempio di cuspide è per .

Cusp function.svg

3. Flesso a tangente verticale

Definizione (Flesso a tangente verticale)

Supponiamo il limite della derivata prima esista e non sia finito e sia presente la seguente situazione:

Diremo che è un punto di flesso a tangente verticale.

 


Osservazione A differenza della cuspide, in questo caso gli infiniti del limite destro e sinistro devono essere concordi; in particolare, come vedremo successivamente, se il limite è la funzione è decrescente in ; se invece è , la funzione sarà crescente.

Vertical tangent.svg

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