Ordini di grandezza e teoremi di Cauchy e de l'Hôpital

Facciamo un breve riepilogo di quanto abbiamo detto e analizzato finora; partendo da un problema generale, ovvero il descrivere l'andamento di una funzione, siamo riusciti a definire l'operatore derivata, ricavarne le formule di derivazione, analizzarne le conseguenze e, proseguendo su questa scia, siamo arrivati a riuscire a disegnare un grafico probabile della funzione analizzata. Perfetto.

Finora abbiamo scherzato. Questo non vuol dire che tutto quel che abbiamo visto finora sia inutile, anzi: sono senza dubbio risultati interessanti e degni di nota. Ma non sono i più rilevanti nel calcolo differenziale: in questi ultimi due capitoli analizzeremo la potenza di questo strumento, che ci permetterà, oltre a calcolare limiti di forme indeterminate, di approssimare le funzioni a dei polinomi. No, non è uno scherzo: può essere approssimato perfettamente a un polinomio. Il che ha dell'assurdo, ma cosa non lo è, in matematica?

Ma procediamo con calma. Quello è l'obiettivo, ma siamo lontani. Dobbiamo rimboccarci le maniche, darci da fare e procedere più a fondo nel calcolo differenziale. La prima cosa di cui dobbiamo parlare sono gli ordini di grandezza. Prendiamo per esempio la funzione . Cosa possiamo dire quando ? Moralmente:

Questo possiamo dirlo perché l'esponenziale cresce più rapidamente del polinomio di primo grado. Ma, rigorosamente, come possiamo rendere l'espressione più rapidamente formale? Definiamo ordini di grandezza infiniti e infinitesimali, ne vediamo i vari esempi e le conseguenze.

Ordini di infinito[modifica | modifica wikitesto]

Partiamo dall'analizzare ordini di infinito per ; consideriamo appartenenti a questo ordine quelle funzioni tali che:

(Il rispettivo, è analogo). Appartenenti a questo ordine sono funzioni del tipo , , , (con ), le quali divergono all'infinito. Come possiamo dire quale di queste cresce più rapidamente delle altre? Il metodo rigoroso è quello di calcolare il loro rapporto. Ad esempio, possiamo facilmente intuire che cresca più rapidamente di , ma per saperlo con certezza calcoliamo:
Il che conferma le nostre intuizioni. Allo stesso modo:
Procediamo a definire tutto questo.

Definizione (Primo ordine di infinito)

Siano due funzioni tali che:

Diremo che f ha un ordine di infinito superiore rispetto a g per se:
Allo stesso modo, diremo che f ha un ordine di infinito minore rispetto a g per se:

 


Possiamo avere a che fare con due funzione che hanno lo stesso andamento all'infinito. Per esempio, se abbiamo , abbiamo che:

Si potrebbe quindi intuire che, se il rapporto, le funzioni hanno lo stesso ordine di infinito. Approfondiamo un po' la questione. Prendiamo per esempio le funzioni . Abbiamo che:
Quindi, il rapporto non ammette limite, ma sappiamo che e, moralmente, f e g tendono all'infinito con la stessa velocità. Quindi, possiamo in generale definire così il successivo ordine di infinito.

Definizione (Secondo ordine di infinito)

Siano come sopra; diremo che f e g hanno lo stesso ordine di infinito per se:

 


Abbiamo trovato un metodo per determinare, quindi, una "scala" di funzioni in base alla loro rapidità. È utile, però, riuscire ad avere un criterio universale che indichi l'ordine di infinito delle funzioni. Passiamo alla definizione.

Definizione

Sia come sopra, e sia il polinomio con lo stesso ordine di infinito di . Diremo che è un infinito di ordine α.

La funzione è detta infinito campione per .

 


Osservazione È facile notare (la dimostrazione è data per esercizio) che, nel caso di funzioni razionali con numeratore di grado m e denominatore di grado q, l'ordine di infinito è pari a m-q.

Osservazione Le funzioni logaritmiche ed esponenziali non hanno nessuno ordine di infinito α, ovvero non esistono polinomi tali che abbiano lo stesso ordine di infinito di queste funzioni. Ciò è facilmente dimostrabile, oltre che particolarmente importante, come vedremo in seguito.

È rilevante fare una piccola digressione per quelle funzioni che, all'infinito, presentano un asintoto obliquo. Siano la funzione da analizzare e sia il suo asintoto; possiamo determinare la funzione che sappiamo, per definizione di asintoto obliquo data nel precedente capitolo, tendere a 0 quando . Moralmente, è un infinito di ordine 1.

Tutto quello che abbiamo detto per può essere definito anche per .

Definizione (Terzo ordine di infinito)

Siano due funzioni tali che:

Diremo che f è un infinito di ordine superiore rispetto a g per se:
Diremo che f è un infinito di ordine inferiore a g per se il limite del rapporto è 0 e, infine, dati , se
diremo che f e g hanno lo stesso ordine di infinito per .

 


Definizione

Se ha lo stesso ordine di infinito di diremo che f è un infinito di ordine α per .

La funzione è detta infinito campione per .

 


Essenzialmente, tutto quello che si è detto per vale anche per . In particolare, anche qui le funzioni logaritmiche, per hanno un ordine di infinito inferiore a qualsiasi potenza.

Ordini di infinitesimo[modifica | modifica wikitesto]

Così come è stato fatto per gli ordini di infinito, si può analizzare la rapidità in cui le funzioni tendono a 0. Diamo un'unica definizione per ordine di infinitesimo, osservando che nella scrittura sono inclusi i casi in cui e quando .

Definizione ((unica) Ordine di infinitesimo)

Siano due funzioni infinitesime per . Diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g per se:

Se il limite è uguale a , diremo che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g. Infine, se, preso un intorno di (per si intende valori sufficientemente grandi), vale la relazione:
Diremo che f e g hanno lo stesso ordine di infinitesimo.

 


Come nel caso di infiniti, si introducono gli infinitesimi campioni; diamo una definizione unica, osservando che valgono le relazioni come precedentemente elencate (l'esponente dei campioni equivale all'ordine di infinitesimo della funzione).

Definizione (Infinitesimi campioni)

Se si prende come infinitesimo campione:

Se invece , il nostro infinitesimo campione sarà:
Si ricorda ancora una volta che è l'esponente dei campioni a definire l'ordine degli infinitesimi.

 


Prima di passare ai simboli di Landau, diamo qualche esempio di ordini di infinitesimo; utilizzeremo limiti notevoli o lasceremo per esercizio le relazioni non già dimostrate.

Osservazione Vale il limite:

Da cui deduciamo che è un infinitesimo di ordine 1 per

Invece, avendo la funzione , possiamo osservare:

Da cui deduciamo che è un infinitesimo di ordine 2 per

Un altro limite notevole ormai famoso:

Da cui sappiamo avere un infinitesimo di ordine 2 per

Lasciamo questa relazione per esercizio:

(Da cui ha un ordine di infinitesimo 1 per

I simboli di Landau[modifica | modifica wikitesto]

Indicare che una funzione ha un ordine di grandezza superiore o inferiore di un'altra può risultare poco pratico, se obbligati a scriverlo per intero. Per nostra fortuna, esistono dei simboli che ci indicano proprio questa relazione. Definiamoli e diamo degli esempi.

Definizione (Simboli di Landau)

Per indicare che una funzione ha un ordine di grandezza inferiore di un'altra si usa la notazione:

Ovvero il loro limite fa 0; leggiamo la scrittura come: f è un "o piccolo" di g.

Allo stesso modo, per indicare che una funzione ha al più (ovvero se il loro ordine di grandezza è al massimo lo stesso in un intorno di l'ordine di grandezza di un'altra utilizziamo:

Ovvero il loro limite è limitato superiormente da un valore reale; leggiamo questa scrittura come: f è un "o grande" di g.

 


Per introdurre questa nuova notazione e chiarire le idee, diamo degli esempi in base a quello che abbiamo già detto in questo capitolo.

Poiché il logaritmo ha un ordine di infinito inferiore a qualsiasi potenza per valori molto grandi, mentre l'esponenziale ha un ordine di infinito superiore a qualsiasi potenza:

Osservazione

Per quanto riguarda gli O grandi, invece, scriviamo una breve tabella sfruttando i limiti notevoli.

I simboli di Landau non sono solo belli e carini (oltre che utili a risparmiare tempo); attraverso questi possiamo addirittura modificare il concetto di derivabilità. Vediamo come, in breve.

Dalla definizione di derivata, possiamo riscrivere la derivabilità semplicemente portando al primo membro la derivata prima, ottenendo:

Osserviamo che, se risulta essere derivabile in , deve valere questa relazione fondamentale:
In parole povere, l'incremento della funzione si può rappresentare come un termine di più un resto che ha un ordine di grandezza inferiore a . Magari avete già sentito parlare di differenziale, ma adesso andiamo a definirlo.

Definizione (Differenziale)

Si usa la seguente notazione:

Che chiamiamo differenziale di f.

 


Osservazione Il differenziale è un'approssimazione (con un resto pari a un ) dell'incremento:

Per rendere l'approssimazione rigorosa, si sfruttano i simboli di Landau:
Ovvero, il differenziale è un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Per quanto riguarda ordini di grandezza abbiamo finito. Sarebbe bello poter dire "amen", ma non è il caso, visto che adesso entriamo nel gorgo del calcolo differenziale. Sebbene pedanti e noiose, tutte queste definizioni ci saranno utilissime per i prossimi teoremi.

Teoremi di Cauchy e de l'Hôpital[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema che andiamo ad enunciare e dimostrare ora è una variante nota del teorema di Lagrange.

Teorema (di Cauchy)

Siano due funzioni continue in e derivabili in . Allora esiste tale che:

 


Breve interpretazione geometrica del teorema di Cauchy: date le due funzione, consideriamo la funzione vettoriale che associa ad un punto dell'intervallo un punto nel piano di coordinate . Il teorema afferma che esiste sempre un valore tale che il vettore incremento sia parallelo al vettore derivata calcolato in .

Procediamo con la dimostrazione.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione:

Osserviamo che la funzione è continua in e derivabile in . Abbiamo inoltre che:
Quindi soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle; esiste allora un punto tale che . Osservando che:
Ne deriva che:
Che è la conclusione.

 


Passiamo ad un altro teorema. Informazione preliminare: il nome del teorema è dato al matematico francese Guillaume Francois Antoine, marchese de L'Hôpital (1661-1704), che pubblicò il teorema nel 1692. La regola è in realtà dovuta a Jean Bernoulli, a cui de L'Hôpital pagava una pensione di 300 franchi annui in cambio degli studi matematici del calcolo infinitesimale. Il marchese pubblicò il teorema in forma anonima ma, una volta che si venne a conoscere il nome, restò nella storia come teorema di de L'Hôpital.

Teorema (Regola di de l'Hôpital)

Siano due funzioni derivabili, tali che . Se esiste ed è finito il limite:

Allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni e si ha:

 


Già solo dall'enunciato è effettivamente chiaro quanto sia importante e rilevante questo teorema per il calcolo di limiti di forme indeterminate come . L'intuizione di partenza per giungere poi alla dimostrazione è che, se le due funzioni tendono a 0 al limite, il valore del rapporto sarà dato dalla rapidità con cui entrambe arrivano a 0; si può allora pensare di approssimare le funzioni con le rette tangenti ad esse nel punto e, sfruttando simboli e derivabilità di Landau riuscire ad ottenere la tesi. Sia però chiaro, una volta per tutte, che procederemo direttamente con la dimostrazione del teorema.

Dimostrazione

Sfruttando il teorema di Cacuhy, poniamo , prendendo . Abbiamo quindi:

Ma, visto che per ipotesi , otteniamo che:
Osserviamo che, passando al limite per , necessariamente anche per continuità della funzione; per ipotesi
Ne segue la conclusione.

 
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