Derivate successive

Abbiamo visto come, applicando la definizione di derivata, si ottenga una funzione che esprima la velocità con cui la funzione varia nell'intorno del punto. Ma ciò che esprime la velocità è, appunto, una funzione, e non c'è nulla che ci vieti di poter studiare questa a sua volta. Applicando quindi nuovamente la definizione, otteniamo la derivata della derivata, che suona brutto di per sé, e chiameremo quindi derivata seconda.

Definizione (Derivata seconda)

Sia continua e derivabile nell'intervallo chiuso e aperto con . Si definisce, se esiste ed è limitato, derivata seconda di il limite:

 


Intuitivamente, non c'è nulla di nuovo in questo. La derivata seconda può a sua volta essere derivabile e così via, fino all'infinito, se possibile. Si utilizza la seguente notazione per indicare le varie derivate di una funzione:

Esistono funzioni derivabili una volta, due volte, infinite volte, mai ecc. Si utilizza la seguente notazione per descrivere la derivibalità di una funzione, con intervallo aperto e :

Ma, oltre a questo, nello studio di funzioni c'è un vantaggio particolare a procedere oltre la derivata prima. Studiamo la convessità e concavità di una funzione e vediamo come calcolarla.

Definizione (Funzione convessa)

Una funzione si dice convessa se, presi due punti tali che , si ha che:

Preso un

 


Detto così, sembra qualcosa di astruso. Analizziamo l'immagine seguente.

Convex function 2

Presi due punti appartenenti all'intervallo e, preso un punto tra i due, che è quindi una combinazione lineare di con , ovvero il punto generico:

La funzione, per essere convessa nel punto, deve essere minore della stessa combinazione lineare applicata alle immagini di . Graficamente, quindi, la funzione deve trovarsi sotto la retta passante per i due punti. Nel caso ciò non avvenisse la funzione si dice concava.

Il corollario successivo è conseguenza del teorema che chiude il capitolo.

Corollario

Sia continua e derivabile nell'intervallo chiuso e aperto . si dice convessa in se il suo grafico è sempre al di sopra di quello della sua retta tangente. Nel caso contrario, si dice concava.

 


Ciò vuol dire che, se la funzione si trova sempre sopra la retta tangente ad essa nell'intervallo considerato, essa è convessa; concava altrimenti. Ovviamente, se questo è un corollario deve esistere un teorema dietro di esso. Dimostriamo prima questo, poi osserviamo il teorema generale.

Dimostrazione

Se la funzione deve essere sempre maggiore della sua derivata prima, vuol dire che la differenza tra la funzione e la tangente deve essere positiva, ovvero:

Applicando il teorema di Lagrange come nel capitolo precedente:
Se , allora . Essendo la derivata prima crescente (vedere il teorema successivo) ne consegue che , quindi il termine a destra è positivo perché prodotto di termini positivi. Se , osserviamo che diventa un prodotto di termini negativi e, quindi, positivo anch'esso.

 


Procediamo al teorema che ci apre la stra all'utilizzo della derivata seconda.

Teorema

Si . Allora:

(i) se è derivabile una volta, è convessa in se e solo se in ovvero non decrescente;

(ii) se è derivabile due volte, la funzione è convessa in se e solo se .

 


Dimostrazione

(i) Supponiamo che sia convessa; deve quindi valere la definizione di convessità data sopra. Passando ai vari limiti otteniamo:

Che dimostra il punto uno.

 


Dal teorema se ne deduce una conclusione fondamentale: studiando il segno della derivata seconda, possono essere trovati punti di flesso obliqui, in cui la funzione cambia convessità. Abbiamo che, se cambia segno in , è un punto di flesso.

Nel prossimo capitolo vedremo lo studio asintotico agli estremi dell'intervallo e, nei successivi, vedremo come poter calcolare forme indeterminate grazie al Teorema di De l'Hospytal e come poter approssimare la funzione ad un polinomio grazie alla regola di Taylor.

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