Definizione di derivata

Lo scopo del calcolo differenziale è quello di studiare il comportamento delle funzioni e le loro variazioni intorno ad uno o più punti. Già utilizzate da Leibniz e Newton, la definizione rigorosa di derivata e lo studio del calcolo differenziale si sviluppano a Parigi nel XIX secolo.

Il problema sorge quando si cerca di approssimare il valore che la funzione assume in un punto di cui non conosciamo l'esatto valore numerico, per esempio ; attraverso studi di variazione, si arriva, attraverso il calcolo differenziale, ad approssimare al meglio la funzione con altre già note, i polinomi, riuscendo a calcolare con un errore relativamente piccolo il valore cercato.

Definiamo immediatamente gli elementi fondamentali del calcolo differenziale.

Definizione (Rapporto incrementale)

Sia una funzione definita in almeno due punti . Si definisce rapporto incrementale:

 


Osservazione Il rapporto incrementale coincide con la pendenza della retta secante passante per i punti . Dimostriamolo. Data l'equazione della retta passante per due punti:

Calcoliamo quindi la retta passante per e :
Si noti che, appunto, la pendenza della retta coincide col rapporto incrementale

Derivative.svg

Possiamo ora definire l'ente fondamentale del calcolo differenziale, che descrive la variazione istantanea della funzione.

Definizione (Derivata)

Sia ; si dice derivabile in se:

Le due scritture sono equivalenti; si dice derivata prima di e corrisponde alla pendenza della retta tangente a .

 


Lim-secant.svg

Osservazione È fondamentale che il limita esista e sia finito: se limite destro e sinistro non coincidono, o almeno uno dei due è , la funzione non è derivabile in quel punto. Per come è definita, la derivata è la miglior approssimazione possibile della funzione vicino al punto. Inoltre, la derivata prima ci fornisce fin da subito diverse informazioni riguardanti l'andamento della funzione: indicando la pendenza della tangente, più il valore è alto, più velocemente la funzione stra crescendo; al contrario, più il valore è basso, più velocemente sta decrescendo. È immediato notare che, se la derivata prima è positiva, la funzione cresce nell'intorno del punto considerato, mentre se è negativa decresce. Non possiamo ancora dire nulla quando la derivata prima ha valore nullo.

Teorema

Se è derivabile in , è continua in

 


Dimostrazione

Utilizziamo la definizione di continuità:

Abbiamo moltiplicato e diviso per

Dunque la funzione è continua in

 
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