Calcolo di derivate

Data la definizione di derivata, possiamo sfruttarla, applicandola, per ottenere quelle che sono conosciute come regole di derivazione. Nei seguenti teoremi abbrevieremo con RdD l'espressione regola di derivazione.

Teorema (RdD per la somma)

Siano due funzioni derivabili in . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Teorema (RdD per il prodotto con una costante)

Sia una funzione derivabile in e sia una costante reale. Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Questi due teoremi sono le due regole fondamentali di derivazione; si noti che la derivata è applicazione lineare.

Procediamo ora a calcolare le derivate di funzioni note.

Teorema (RdD per la costante)

Sia . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Teorema (RdD per la potenza)

Sia la nostra funzione; si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

Si osservi che, quando tutti i prodotti diventano della forma , che sono in particolare esattamente

 


Osservazione La derivazione della potenza vale anche per valori di α negativi, razionali o irrazionali (es. π); si ha quindi (lo si provi):

Teorema (RdD per l'esponenziale)

Abbiamo ; si ha che:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione:

Si noti il limite notevole all'ultimo passaggio

 


Osservazione Il fatto che la derivata dell'esponenziale sia l'esponenziale stessa induce ad un'importante conclusione: l'esponenziale cresce come se stessa; ciò induce ad affermare che sia una delle funzioni dalla crescita più rapida all'infinito, cosa che verrà poi dimostrata in seguito.

Teorema (RdD per il seno)

Sia . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Teorema (RdD per il coseno)

Sia . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Osservazione Il legame tra le funzioni seno e coseno attraverso l'operatore derivata non deve sorprendere; è noto infatti che il coseno è una traslazione di verso destra della funzione seno. Dedurre le ultime considerazioni.

Teorema (RdD per il logaritmo)

Sia . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

Applicando un opportuno cambio di variabile:
Possiamo riscrivere il limite come segue e, ricordando i limiti notevoli:

 


Osservazione Che la derivata del logaritmo sia definita per è in accordo con il dominio del logaritmo, ovvero .

Dopo aver ottenuto le regole di derivazione di funzioni note, passiamo a sfruttare la definizione per ottenere regole di derivazione di relazioni tra funzioni. Abbiamo già visto, a inizio capitolo, la derivazione della somma; vedremo di seguito le altre relazioni fondamentali mancanti.

Teorema (Regola di Leibniz per la derivazione del prodotto)

Osservazione preliminare Si è preferito attribuire la giusta paternità di tale regola a Gottfried Leibniz invece che chiamarla genericamente regola di derivazione.

Siano due funzioni derivabili in . Si ha:

 


Osservazione preliminare Questa formula è di importanza fondamentale per il calcolo integrale, come vedremo nella prossima sezione.

Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

Abbiamo aggiunto e sottratto al numeratore e messo in evidenza per ottenere la formula finale.

 


Teorema (RdD per il rapporto)

Osservazione Seppur logicamente esatta, un figlio non è la giusta derivata di un rapporto.

Siano due funzioni derivabili, con . Si ha:

 


Dimostrazione

Applichiamo la definizione di derivata:

 


Osservazione Utilizzando la formula di derivazione del rapporto, possiamo calcolare :

Teorema (RdD per la funzione composta)

Siano due funzioni derivabili. La loro composta è derivabile e vale:

 
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