Calcolo delle probabilità I1

Corso importato dagli appunti di Pietro Battiston dal corso di calcolo di probabilità del percorso di laurea triennale in matematica dell'anno accademico 2006-2007

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Definizioni fondamentali

• Introduzione
• Tribù
• Misure
• Ancora tribù
• Insiemi boreliani
• Misure diffuse

Stessi concetti nuovi termini

• Introduzione
• Impostazione di uno spazio di probabilità
• Generazione dei boreliani
• Continuità
• Limiti inferiori e superiori

Applicazioni misurabili

• Introduzione
• Variabili aleatorie
• Criterio fondamentale di misurabilità
• Variabili aleatorie discrete
• Legge di una variabile aleatoria
• Condizionamento elementare

Indipendenza stocastica

• Introduzione
• Il criterio di indipendenza
• Criterio delle due basi
• Indipendenza di sottotribù
• Indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie
• Criterio fondamentale di indipendenza

Isonomia

• Introduzione
• Misure degeneri
• Ancora sul criterio di indipendenza
• Variabili aleatorie su spazi discreti
• Legge essenziale
• Proprietà associativa dell'indipendenza
• Sub-additività numerabile
• Rincollamento
• n-esimi istanti di successo
• Legge di Poisson
• Spazi prodotto
• Criterio per l'indipendenza da un blocco
• Legge 0-1 di Kolmogorov
• Leggi degeneri
• Di nuovo sul criterio fondamentale per la coincidenza delle misure
• Tribù separabili

Teoria dell'integrazione

• Tribù traccia
• Di nuovo sui boreliani
• Definizione di integrale
• Funzioni integrabili
• Proprietà degli integrali
• Prodotto di misure
• Teorema di Fubini
• Versione della densità
• Funzioni di ripartizione
• Caso discreto
• Integrazione rispetto ad una misura definita da una densità

Speranza di una variabile aleatoria

• Introduzione
• Speranza di una funzione composta
• Caso discreto
• Disintegrazione (elementare)

Leggi su R

• Legge esponenziale
• Convoluzione
• Funzione Gamma di Eulero
• Processo di Poisson
• Caratterizzazione delle leggi esponenziali
• Vettori aleatori
• Diffeomorfismi
• Legge Beta
• Leggi condizionali

Varianza

• Introduzione
• Diseguaglianza di Markov
• Covarianza
• Varianza di un vettore aleatorio
• Varianza di variabili aleatorie note

Trasformata di Fourier

• Introduzione
• Proprietà elementari
• Legge normale

Pseudo-inversa di una funzione di ripartizione

• Introduzione
• Convergenza debole
• Criterio fondamentale di convergenza debole
• Convergenza in L^p

Leggi dei grandi numeri

• Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti ed isonome
• Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie a due a due non correlate
• Secondo Lemma di Borel-Cantelli
• Indipendenza e stazionarietà degli incrementi in un processo di Poisson
• Passeggiate aleatorie

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