La funzione di probabilità

La probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (Probabilità)

La probabilità è una funzione tale che:

 


Proposizione

Da queste due seguono altre proprietà:

 


Dimostrazione

Si ha che , e dunque sono disgiunti. Per la proprietà (ii) si ottiene che . Se per assurdo si avrebbe dunque dovrà essere . Sia ora . Abbiamo così creato una successione di insiemi disgiunti, ottenendo dunque

 


Da queste proprietà si deduce che la probabilità non è altro che una misura su con massa totale pari a 1. Dunque in generale avendo uno spazio di misura finito, cioè con , possiamo sempre definire una probabilità ponendo . Ciò significa che probabilità e misure finite sono uguali a meno di una costante moltiplicativa, tuttavia il calcolo delle probabilità non risulta solo un caso specifico della teoria della misura, poiché ci si pongono domande ben diverse.

Definizione (Densità discreta)

Sia un insieme generico. Una funzione si dice densità discreta se soddisfa:

 


Osservazione

Affinché una somma (probabilmente infinita) di termini positivi sia finita è necessario che sia un insieme finito o numerabile. Possiamo dunque definire una densità discreta scegliendo l'insieme finito o numerabile in cui vogliamo che sia non nulla, ponendo e definendo .

 


Definizione (Probabilità discreta)

Sia un insieme generico su cui è definita una densità discreta . Si definisce probabilità discreta associata alla densità la probabilità definita ponendo .

 


Proposizione

Tale definizione è ben posta, cioè la funzione è effettivamente una probabilità.

 


Dimostrazione

Si ha innanzitutto che per definizione di densità discreta. Sia ora  :

 


Proposizione

Sia uno spazio di probabilità finito o numerabile, allora altro non è che la probabilità discreta associata alla densità di probabilità definita da .

 


Dunque se un esperimento aleatorio ha un insieme di esiti finito o numerabile è prassi definire la probabilità di ogni singolo esito e da questa ricavare la probabilità degli eventi visti come insiemi di esiti favorevoli.

Proposizione

Sia uno spazio di probabilità. allora vale che:

 


Dimostrazione

Si ha che:

  • Se possiamo scrivere dunque da cui .
  • .
  • In generale possiamo scrivere quindi da cui si ricava . Scrivendo ora si ottiene
 


Osservazione

Siano tre eventi generici. Allora si ha che

 


Proposizione (Principio di inclusione-esclusione)

 


Definizione

Siano sottoinsiemi di e sia un altro sottoinsieme di . Scriveremo:

  • per indicare che e , in tal caso diremo che converge dal basso verso .
  • per indicare che e , in tal caso diremo che converge dall'alto verso .
 


Proposizione

Valgono le seguenti proprietà:

  1. se
  2. siano generici e sia
  3. se (posto cioè i sono disgiunti e .
 


Teorema

Sia uno spazio misurabile e sia tale che e P sia finitamente additiva, cioè Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. P è una probabilità, ossia è -additiva.
  2. P è continua dal basso, ossia
  3. Se
  4. P è continua dall'alto, ossia
  5. Se
 


Dimostrazione

1) 2) Sia e sia , allora i sono disgiunti e e . Allora si ha

2) 3) è banale poiché 3) è un caso particolare di 2). 3) 2) si ha perché se posto e dunque

 
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