Esercizio 8.23
Siano
e
partizionati nel modo seguente
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}M&-I\\-I&M\end{array}}\right]\quad b=\left[{\begin{array}{cc}b_{1}\\b_{1}\end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/dbc1cce0bd235cc128047c538740c1db4520f6da)
Avendo supposto

e

non singolari,
- dimostrare che la soluzione del sistema
puo' essere
scritta nella forma
con
e
ricondotta a quella di un sistema lineare della forma
,
con
. Fornire l'epressione di
.
- Fissata
![{\displaystyle M=\left[{\begin{array}{ccc}\beta &\alpha &0\\\alpha &\beta &\alpha \\0&\alpha &\beta \end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{3\times 3},\quad {\textrm {con}}\alpha <0,\ \beta >1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4420aeab6aca65c5f13d603ea83e16ae9c1fd25c)
studiare la convergenza del metodo di Jacobi quando applicato al
sistema

Risolvendo il sistema con la matrice a blocchi si ottiene:

Se la soluzione si può scrivere come

con

, il sistema si riduce a:

e

soddisfa entrambe le equazioni se

. Allora il sistema di partenza può essere ricondotto al sistema

con

,

,

.
![{\displaystyle M=\left[{\begin{array}{ccc}\beta &\alpha &0\\\alpha &\beta &\alpha \\0&\alpha &\beta \end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a3a3364761844146863e767203678d08a0d356cb)
Quando applico il metodo di Jacobi al sistema

con

come sopra, si ha
![{\displaystyle B=M-I=\left[{\begin{array}{ccc}\beta -1&\alpha &0\\\alpha &\beta -1&\alpha \\0&\alpha &\beta -1\end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4f75d8e1e3728d9d21e7627cdd97c666e0206019)
La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è

e quindi è della forma:
![{\displaystyle P_{j}=-1/(\beta -1)\left[{\begin{array}{ccc}0&\alpha &0\\\alpha &0&\alpha \\0&\alpha &0\end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7d1c6767bf6cca21ca44005176cab402520eca06)
Ne calcolo gli autovalori:
Ponendo

:
![{\displaystyle P_{j}=\left[{\begin{array}{ccc}0&c&0\\c&0&c\\0&c&0\end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f3dc0991e7669b042e748d40d5377f9c5e947e2c)
![{\displaystyle P_{j}-\lambda I=\left[{\begin{array}{ccc}-\lambda &c&0\\c&-\lambda &c\\0&c&-\lambda \end{array}}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e70cfa22e19e8eea2a35db019a3b05ae85b77b90)



Il metodo di Jacobi converge se l'autovalore di modulo massimo è minore di 1, quindi se


ma siccome per ipotesi

si ha

.
Esercizio 8.24
Si vuole risolvere l'equazione
con il metodo di punto fisso

- Determinare il massimo intervallo
tale che per
ogni
il metodo converge a
, radice minore.
- Determinare l'intervallo
tale che e'
soddisfatta la condizione
per ogni
.
- Determinare se il metodo permette la convergenza alla
seconda radice
e in caso negativo indicare una
riformulazione del metodo di punto fisso.
Determino le radici dell'equazione
.




Osservo che, ponendo

il metodo considerato si può riscrivre come:


è una parabola rivolta verso l'alto, che non interseca l'asse delle ascisse, e ha vertice

. Osservo che l'intervallo in cui il metodo converge alla radice

è

, infatti si ha:
- se
,
e ottengo una successione di iterate che converge a
.
- se

, ottengo una successione decrescente di iterate limitata dal punto fisso
.
- se
,
, ottengo una successione crescente di iterate che diverge.
Osservo che

e

se e solo se

,

, quindi

è

.
Per trovare un metodo che converge alla radice
posso definire un metodo della forma

con

in modo da ottenere

e





La funzione

è concava tra

e

, quindi per

si ha una successione di iterate crescente che converge a

.
Esercizio 8.25
Fissati i nodi
determinare i pesi
tali che la formula di quadratura

abbia grado di precisione 2.
Si può osservare subito che la formula di quadratura

con grado di precisione almeno

coincide con la formula di quadratura che sostituisce a

il polinomio interpolante nei nodi

. In questo caso, siccome i nodi sono equispaziati, si ottiene la formula di Simpson. I pesi si possono scrivere nella forma

con

indipendente da

. Infatti i pesi sono gli integrali dei polinomi di Lagrange, ad esempio:

ma con il cambio di variabile

si ha

, quindi


![{\displaystyle w_{1}=h*1/2*[t^{3}/3-3t^{2}/2+2t]_{0}^{2}=h/2*(8/3-6+4)=h/2*2/3=h*1/3}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0a740262b7e0f5b91810acf61939e49a9f89ebf3)
e siccome

, si ha

per simmetria.


![{\displaystyle w_{2}=-h[t^{3}/3-2t^{2}/2]_{0}^{2}=-h(8/3-4)=h4/3}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ec8793d7d5100d3c8c2316b82ab040b46b418f59)

Un procedimento alternativo è quello di imporre le condizioni sul grado di precisione sull'intervallo
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
, e dividendo per il passo di equispaziatura si trovano gli

.
Esercizio 8.26
Calcolare, considerato il seguente sistema di numeri floating point





















quindi non è possibile eseguire la somma





Esercizio 8.27
Rappresentare
, nell'insieme
.



Invece, nel sistema

, ottengo:


Valutando l'errore assoluto:

Quindi il teorema è verificato.

Esercizio 8.28
Considerare l'insieme
:
calcolare la somma
nell'insieme, con

, quindi non è necessario farne il floating.


Si ha

, mentre

.
Esercizio 8.29
Dato

Elencare esplicitamente gli elementi di F.
Tabella

I numeri rappresentabili in questo sistema sono 33 (0, 16 negativi, 16 positivi).
Rappresentiamo i numeri nella base 10 sulla retta reale.
Il primo numero si rappresenta come
![{\displaystyle [1*2^{-1}+0*2^{-2}+0*2^{-3}]*2^{-2}=2^{-3}=1/8}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/839f6d3e82d52dba74eb48e318b7db04ccb93d98)
![{\displaystyle 0.101*2^{-2}=[1*2^{-1}+0*2^{-2}+1*2^{-3}]*2^{-2}=(1/8+1/2)*1/4=5/32}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f124f6742d81b797f1c65a971c11b3525dee0401)

Rappresentazione sulla retta reale: i segmenti definiti sono del tipo

, delimitati da:

e in questi segmenti posizioniamo i numeri dell'insieme F.
Ad esempio, sul segmento

lo spacing vale

Nell'intervallo precedente lo spacing vale

, invece in

lo spacing è

.
Dopo aver determinato in maniera esplicita gli elementi di F, rappresentandoli sull'asse reale, i numeri macchina sono equispaziati ma lo spacing dipende dall'intervallo scelto.
Esercizio 8.30
Considero la matrice
A=[1 0 0 1; -1 1 0 1; -1 -1 1 1; -1 -1 -1 1]
con elemento massimo
.
Dimostrare che, se applico il metodo di eliminazione gaussiana, per costruire le matrici

, l'elemento massimo in modulo di

è

cioè la relazione raggiunge il suo massimo con il segno di uguaglianza.

M_1=[1 0 0 0; 1 1 0 0; 1 0 1 0; 1 0 0 1]
A_2=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 -1 1 2; 0 -1 -1 2]

M_2=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 1 1 0; 0 1 0 1]
A_3=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 0 1 4; 0 0 -1 4]

M_3=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 1 1]
A_4=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 0 1 4; 0 0 0 8]
