Esercizio 8.8
Ricondurre approssimativamente la divisione
a un'operazione di moltiplicazione, cioè scrivere
come
.
Poniamo
. Sia
, con

cioè il problema si riconduce a calcolare l'inverso di un numero.
Risolvere l'equazione

equivale a trovare gli zeri della funzione

.
Sappiamo che

quindi

e devo fare nuovamente una divisione, quindi questa soluzione non porta al risultato desiderato.
Consideriamo quindi la funzione

(che deriva dall'equazione

). Tenendo presente che

, applicando il metodo di Newton si ha:





e in questo caso ho solo moltiplicazioni.
Consideriamo quindi il metodo

dove

con

.
- ricerca dei punti fissi:L'equazione

è risolta quando
o
.
- Studio dell'ordine di convergenza:
è di classe
, inoltre

Allora in un intorno di
il metodo converge.
e
, quindi il metodo ha ordine di convergenza 2.
- Studio della convergenza nei vari casi: Disegno la
passante per
e per
(è una parabola rivolta verso il basso con vertice in
) e la bisettrice del primo e del terzo quadrante.;Caso 1:
. Pongo
, mi sposto sulla bisettrice per recuperare l'ascissa di
e risalgo sulla funzione per determinare
. Itero poi il procedimento. Siccome
ottengo una successione monotona decrescente, e divergo a
.;Caso 2:
.
e il metodo non itera.;Caso 3:
.
implica che
e la successione è monotona crescente, e si ferma raggiunto il punto fisso
.;Caso 4:
. Qui la retta si trova sopra la parabola,
e il metodo converge perché dopo la prima iterata
si trova sulla parte di parabola con ordinata compresa tra
e
e ci si avvicina di nuovo al punto fisso.;Caso 5:
, allora
e non itero.;Caso 6:
. Si ha divergenza, infatti
e la successione è decrescente e diverge a
.
- Analisi dell'errore e della velocità di convergenza:

Al passo successivo
e quindi per ogni k, la riduzione dell'errore è di tipo quadratico,
e
. Quindi
Questo risultato si può estendere al calcolo dell'inversa di una matrice, infatti, risolve.



quindi

.
Applico Newton a

.
Esercizio 8.9
Dato il metodo del punto fisso

Analizzare convergenza e velocità di convergenza.
- Punti fissi




e questo è l'unico punto fisso.
- Ordine di convergenza

quindi il metodo converge se
, cioè


quindi il metodo converge se
.
In particolare, se
, l'ordine di convergenza è 1.
- Analisi dell'errore



e se

l'errore si riduce.
- Studio della convergenza nei vari casi
è una retta, che interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante nel punto fisso
.
Inoltre la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto
.
il comportamento del metodo dipende dal valore di
:
- se
, la retta ha coefficiente angolare positivo e minore di quello della bisettrice, e si ha che il metodo converge per ogni scelta di
, infatti, se
si ha
e la successione è monotona crescente e limitata da
, invece se
la successione è monotona decrescente e limitata.
- Se
, la retta ha coefficiente angolare negativo e minore di quello della bisettrice (
). Per ogni
, si ha la convergenza alternata.