Esercizi conclusivi

Esercizio 8.10

Considero il sistema

Calcolare il punto medio del segmento
usando le due formule
e
e commentare i risultati.

 

Usando la prima formula:

ma si ottiene un risultato che non sta nell'intervallo .

Con la seconda formula:

Il punto trovato sta nell'intervallo ma non corrisponde al punto medio.

Esercizio 8.11

Sia data la funzione

scrivere nella base canonica, nella base di Lagrange e nella base di Newton il polinomio interpolante tale funzione in .

 

La tabella dei dati da interpolare è:

  1. Nel caso della base canonica, voglio scrivere il polinomio come
    e impongo le condizioni
    e ottengo il sistema lineare:
    e la matrice ha la forma della matrice di Vandermonde:
    Risolvendo il sistema si ottiene:
    Quindi il polinomio interpolante è .
  2. Nel caso della base di Lagrange:
    dove .
    Non calcolo perché verrà moltiplicato per .
    Quindi
  3. Rappresentando invece il polinomio interpolante nella base di Newton tramite le differenze divise si applica l'algoritmo alla Neville. Si ha che
    dove , .Calcolo le tre differenze divise con l'algoritmo alla Neville:
    Quindi, in questo caso:
    Scrivendo il polinomio esplicitamente ottengo:


Esercizio 8.12

Approssimare una funzione generica sull'intervallo con la retta dei minimi quadrati discreta relativa ai nodi per .

Detta l'approssimazione ottenuta, approssimare

con
e determinare il grado di precisione della formula di quadratura.

 

Nel metodo dei minimi quadrati

dove nella base canonica.
Risolvo il sistema delle equazioni normali:
dove è una matrice , e per i coefficienti e per il termine noto valgono le seguenti espressioni:
Il numero dei nodi è , quindi .
Ricavando i coefficienti:
Quindi sostituendo le espressioni trovate nel sistema:
ottengo
e sostituendo nella prima equazione
Quindi il polinomio approssimante è
Considero
e sostituendo le espressioni dei coefficienti:
Il grado di precisione k è almeno 1 per costruzione. Verifico se il grado di precisione è 2. Sappiamo che
e con la formula di quadratura :
quindi il grado di precisione è 1.

Esercizio 8.13

Approssimare

nella forma
determinare in modo che il grado di precisione sia massimo e verificare che coincide con la formula dei trapezi. Applicare la formula al calcolo dell'integrale
e calcolare l'errore assoluto effettivo e quello stimato.

 

Impongo che le costanti vengano integrate correttamente:

quindi
Chiedendo grado di precisione 1:
e risolvendo
e sostituendo nella prima equazione
quindi
e la formula che si scrive come
è la formula dei trapezi. L'integrale esatto è
mentre l'integrale calcolato usando la formula è
L'errore assoluto è
mentre l'errore stimato è

Esercizio 8.14

Sia

Applicando la formula dei trapezi composita, determinare quante suddivisioni dell'intervallo sono necessarie affinché l'errore sia più piccolo di . Calcolare il valore approssimato e l'errore effettivo.

 

L'errore della formula di quadratura dei trapezi composita è dato da:
dove , e .

Quindi

e siccome cerco un errore minore di :
quindi richiedo che .

Pongo . Applicando la formula con il passo scelto ottengo . Applicando la formula dei trapezi composita ottengo:

L'errore assoluto .

Esercizio 8.15

Dato un metodo multipasso

con , determinare per quali valori di il metodo ha ordine di converenza massimo.

 

Affinché il metodo sia convergente dev'essere consistente e 0-stabile, quindi valuto le condizioni di consistenza:

Dato il metodo

si richiede che
e che
In questo caso, riscrivendo il metodo come:
Imponendo le condizioni di consistenza:

  1. e la condizione è già verificata.
  2. Se la condizione
    è verificata, il metodo ha ordine di consistenza 1, integrando successivamente ambo i membri rispetto a j, se l'uguaglianza è verificata il metodo avrà consistenza 2, se questo è vero dopo l'-esima integrazione, il metodo ha consistenza .Quindi
    e la quantità è nulla se e solo se .
    Si conclude che la consistenza è di ordine per ogni , ed è di ordine 2 per .

Per verificare se il metodo è convergente, verifico se è anche 0-stabile, cioè se il polinomio verifica la root condition.

La root condition è soddisfatta se
Se , 1 è una radice doppia, e la root condition è violata. Invece, se , la root condition vale.

Esercizio 8.16

Si consideri il seguente sistema di numeri floating point:

  1. Dare un esempio di due numeri di la cui somma dia overflow in e la cui differenza dia underflow in .
  2. Determinare il più piccolo intero che non sta in .
  3. Eseguire in le operazioni
    e calcolare il corrispondente errore relativo.
 
  1. Osservo che facendo la somma
    si va in overflow.Invece facendo la differenza
    si va in underflow.
  2. Impongo , quindi . è l'intervallo degli interi non consecutivi.
    è il più piccolo intero che non sta in .
  3. Osservo che
Esercizio 8.17

Sia data la matrice

con parametri reali.

  1. Calcolare, quando possibile, la fattorizzazione
  2. Determinare la matrice di permutazione tale che
    con
  3. Applicando il criterio di Sylvester, determinare la condizione affinché sia simmetrica e definita positiva.
  4. Calcolare, quando possibile, la decomposizione di Cholesky di .
 
  1. Calcolo la fattorizzazione della matrice:Al passo 1:
    e per il prodotto si ha
    con
    La matrice triangolare superiore ottenuta alla fine è U, invece la L è
  2. La matrice di permutazione cercata, tenendo conto che
    è
  3. Applico il criterio di Sylvester:
  4. Si osserva che
    e la matrice è definita positiva se si impongono le condizioni del punto precedente.
    è la matrice con sulla diagonale.Alternativamente, posso applicare direttamente la fattorizzazione di Cholesky ad e ottengo:
Esercizio 8.18

Sia :

  1. determinare la funzione costante che approssima f nel senso dei minimi quadrati discreti nei nodi e
  2. determinare qual è il grado di precisione della formula di quadratura quando si approssima
    con
 

In questo caso l'unico coefficiente da determinare del sistema

è .

I nodi sono 2 quindi .

quindi
implica
Approssimiamo
con
Verifico se la formula ha grado di precisione 1.
e usando la formula di quadratura
il grado di precisione è 1 perché la formula coincide con quella dei trapezi.

Esercizio 8.19

Supponendo di conoscere la soluzione esatta a del problema

si consideri lo schema Runge-Kutta esplicito a due stadi:
con

  • determinare per quali valori dei parametri il metodo è consistente.
  • determinare per quali valori dei parametri il metodo è convergente.
 

Usando lo sviluppo di Taylor:

Ci sono infiniti metodi consistenti. Il metodo è a un passo, e la consistenza implica la convergenza.

Esercizio 8.20

Si consideri il seguente sistema di numeri floating-point

  1. calcolare il più piccolo e il più grande numero di
  2. determinare il primo segmento dove si hanno solo più numeri interi non consecutivi.
  3. siano , . Calcolare in le espressioni
    e il corrispondente errore relativo.
  4. Calcolare la prima iterata del metodo di Newton per il calcolo delle radici della funzione
    con valore di innesco
 


  1. il più piccolo numero in è
    e il più grande è
  2. se voglio avere numeri interi non consecutivi, lo spacing dell'intervallo dev'essere almeno , quindi siccome lo spacing in un intervallo è dato dalla formula , si deve avereà
    - Quindi il primo intervallo in cui ci sono numeri interi non consecutivi è .
  3. Si ha
    Quindi, per calcolare la prima espressione:
    Invece, calcolando la seconda espressione:
    Il valore esatto è
    e i corrispondenti errori relativi sono:
  4. La prima iterata del metodo di Newton è
Esercizio 8.21

Sia una matrice triangolare inferiore non singolare. Descrivere la fattorizzazione LU (senza pivot):

  1. della matrice
  2. della matrice
  3. della matrice

Considerare eventualmente come riferimento una fissata matrice .

 
  1. Per la fattorizzazione di :Definisco A come
    Pongo
    e
    In definitiva si ottiene:
    invece
  2. Per la fattorizzazione di ,
    con e .
  3. quindi
Esercizio 8.22

Sia

con . Facendo uso dei teoremi di Gersch-Gorin dare una stima del raggio spettrale della matrice di iterazione del metodo di Jacobi.

 

Nel caso il raggio spettrale è minore di 1. non possono essere autovalori. Nel caso , il raggio spettrale è
e il metodo di Jacobi converge

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