Esempi sui metodi iterativi

Esercizio 8.7

Considero la matrice , con

con . Verificare che i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel convergono o divergono entrambi, e indicare la relazione tra le velocità di convergenza.

 

La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è
Calcolo gli autovalori della matrice di iterazione di Jacobi:
e la convergenza del metodo di Jacobi avviene se e solo se , e quindi se .

Costruisco la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Heidel:

Per il calcolo degli autovalori di , devo imporre
e siccome si ha che la condizione è verificata se , quindi calcolo .
e anche Gauss-Seidel converge se , però la velocità del metodo di Gauss-Seidel è tripla rispetto a quella del metodo di Jacobi.

Esempio 8.1 (fallimento del test dell'incremento)

Considero il sistema lineare con

con soluzione esatta

 

Calcolando le iterate a partire dal vettore d'innesco

Considero il caso in cui e uso il test d'arresto dell'incremento in norma infinito. La condizione che dev'essere verificata è
Applicando il metodo di Jacobi
La norma infinito di questa matrice è , e si ha la condizione che rende il test dell'arresto inaffidabile, infatti .
Per il test dell'arresto si ha:
ma .

Allora:

e la condizione è verificata e il test si arresta, ma la soluzione ottenuta è diversa da quella esatta.

Esempio 8.2 (fallimento test del residuo)

Considerare il sistema

con
con soluzione esatta
e termine noto

 

Imponiamo che
con . Sappiamo che l'errore è controllato dal residuo secondo la relazione:
Il condizionamento è
e per questo motivo il test si arresta lontano dalla soluzione esatta.

Non è detto che il metodo di Jacobi converga più lentamente di quello di Gauss-Seidel.

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