Alcuni esercizi

Esercizio 8.1 (Sull'aritmetica floating point)

Supponiamo di avere un sistema . Determinare quanto segue.

 
  1. Trovare il segmento dove sono rappresentati solo interi consecutivi:Lo spacing nell'intervallo è dato da . Per rappresentare interi positivi si impone che , cioè, per , ,quindi l'intervallo da considerare è .
  2. Trovare il primo segmento in cui ci sono interi non consecutivi.Questo è l'intervallo immediatamente successivo, , con spacing pari a 10.
  3. Trovare il segmento con spacing pari a .
    quindi l'intervallo in questione è , che però è oltre la barriera di overflow.
  4. Trovare il primo tale che ., infatti, , infatti , il cui floating è 1.
  5. sommare e come numeri macchina
    e nel sistema con 3 cifre di mantissa, si applica il rounding to even e ottengo:
  6. Perturbando i numeri:
    eseguire la somma
    .Scrivendo i numeri con rappresentazione esponenziale normalizzata:
    La somma è , e in notazione esponenziale
Esercizio 8.2 (Eliminazione di gauss)

Data la matrice

calcolare la fattorizzazione con la tecnica del pivot parziale.

 

Metto in posizione pivotale l'elemento di modulo massimo.

Caso 1: Supponendo che , non occorrono permutazioni di righe, quindi .

Nell'eseguire il prodotto, tengo conto che la prima riga viene lasciata inalterata, la prima colonna viene annullata, mentre calcolo la sottomatrice in basso a destra.
Anche perché ,
Allora eseguendo il prodotto:
Allora è la matrice con 1 sulla diagonale, triangolare inferiore, e dove nella parte superiore si affiancano le colonne date dai moltiplicatori, allora, tenendo conto che allora:
Caso 2: . In questo caso devo scambiare la prima riga con la terza.
Allora va applicata alla permutata , cioè:
Non è necessario fare ulteriori scambi di righe, infatti .
allora
Invece

Esercizio 8.3

Data la matrice:

e il vettore
risolvere il sistema
con e senza tecnica di pivot.

 

Soluzione senza tecnica di pivot:

Passo 1:

Risolvo quindi
Con tecnica di pivoting:

Il primo passo è uguale al precedente, e ottengo:

scambio le righe:
Prima permuto il termine noto: , e poi risolvo il sistema :
Senza usare la tecnica del pivot la soluzione viene molto diversa da quella esatta.

Esercizio 8.4

Nell'insieme

Calcolare la fattorizzazione con tecnica di pivot parziale della seguente matrice:
ponendo .

 

caso 1: se , allora .

Caso 2: se , scambio le righe:
(conti in aritmetica esatta).
Ora supponiamo . . Siamo nel caso 1, infatti .

Ripercorrendo le stesse operazioni,

Supponiamo . , sono nel caso . Ripercorrendo le operazioni, bisogna verificare che il moltiplicatore .
Considero poi:
Se infine pongo , si ha , e non riesco a rappresentare i dati.

Esercizio 8.5 (fattorizzazione di Cholesky)

Calcolare la fattorizzazione di Cholesky della matrice .

 

Mi chiedo se la matrice è simmetrica e definita positiva.

La simmetria è verificata. Per la definita positività, uso il criterio di Sylvester:

e bisogna imporre che anche l'ultimo minore sia maggiore di 0, cioè
ma siccome , allora . ( si poteva concludere a priori, infatti una matrice è definita positiva se ha entrate sulla diagonale positive)

Passo 1:

Passo 2:
Passo 3:
Allora, la matrice triangolare superiore tale che è della forma:
Procedimento alternativo: Sappiamo anche che, se , allora , dove è la diagonale di . Determino la matrice con l'eliminazione gaussiana:
Quindi

Esercizio 8.6

Data la matrice

calcolarne la fattorizzazione di Cholesky quando possibile.

 

Per poter applicare la fattorizzazione di Cholesky, deve essere simmetrica, quindi necessariamente

Impongo la positività:
e unendo alle informazioni già trovate, si ha necessariamente .

fattorizzazione di Cholesky:

  1. Passo 1:
  2. Passo 2:
    (è ben definita perché )
  3. Passo 3:
    e questo è vero perché .

Quindi si ottiene:

Successivo