Alcuni esercizi

Esercizio 8.1 (Sull'aritmetica floating point)

Supponiamo di avere un sistema $F(\beta ,t,L,U)=f(10,3,-12,12)$$F(\beta ,t,L,U)=f(10,3,-12,12)$. Determinare quanto segue.

 

1. Trovare il segmento dove sono rappresentati solo interi consecutivi:Lo spacing nell'intervallo $(\beta ^{p},\beta ^{p+1})$$(\beta ^{p},\beta ^{p+1})$ è dato da $\beta ^{p+1-t}$$\beta ^{p+1-t}$. Per rappresentare interi positivi si impone che $p+1-t=0$$p+1-t=0$, cioè, per $t=3$$t=3$, $p=2$$p=2$,quindi l'intervallo da considerare è $(10^{2},1^{3})$$(10^{2},1^{3})$.
2. Trovare il primo segmento in cui ci sono interi non consecutivi.Questo è l'intervallo immediatamente successivo, $(10^{3},10^{4})$$(10^{3},10^{4})$, con spacing pari a 10.
3. Trovare il segmento con spacing pari a $10^{10}$$10^{10}$.
   $$p+1-t=10,\longrightarrow \,p=12$$

   $$p+1-t=10,\longrightarrow \,p=12$$
   quindi l'intervallo in questione è $(10^{12},10^{13})$$(10^{12},10^{13})$, che però è oltre la barriera di overflow.
4. Trovare il primo $k$$k$ tale che $\mathrm {fl} (1+10^{-k})=1$$\mathrm {fl} (1+10^{-k})=1$.$k=3$$k=3$, infatti, $10^{-3}=0.001$$10^{-3}=0.001$, infatti $1+0.001=1.001$$1+0.001=1.001$, il cui floating è 1.
5. sommare $427$$427$ e $628$$628$ come numeri macchina
   $$427=0.427*10^{3},\in F$$

   $$427=0.427*10^{3},\in F$$
   $$628=0.628*10^{3}\in F$$

   $$628=0.628*10^{3}\in F$$
   $$1.055*10^{3}=0.1055*10^{4}$$

   $$1.055*10^{3}=0.1055*10^{4}$$
   e nel sistema con 3 cifre di mantissa, si applica il rounding to even e ottengo:
   $$0.106*10^{4}$$

   $$0.106*10^{4}$$
6. Perturbando i numeri:
   $$427.3+628.7$$

   $$427.3+628.7$$
   eseguire la somma.Scrivendo i numeri con rappresentazione esponenziale normalizzata:
   $$427.3=0.4273*10^{3}$$

   $$427.3=0.4273*10^{3}$$
   $$\mathrm {fl} (0.4273*10^{3})=0.427*10^{3}$$

   $$\mathrm {fl} (0.4273*10^{3})=0.427*10^{3}$$
   $$628.7=0.6287*10^{3}$$

   $$628.7=0.6287*10^{3}$$
   $$\mathrm {fl} (0.6287*10^{3})=0.629*10^{3}$$

   $$\mathrm {fl} (0.6287*10^{3})=0.629*10^{3}$$
   La somma è $1.056*10^{3}$$1.056*10^{3}$, e in notazione esponenziale
   $$0.1056*10^{4}=0.106*10^{4}\quad {\hbox{per eccesso}}$$

   $$0.1056*10^{4}=0.106*10^{4}\quad {\hbox{per eccesso}}$$

Esercizio 8.2 (Eliminazione di gauss)

Data la matrice

$$A={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

calcolare la fattorizzazione $PA=LU$$PA=LU$ con la tecnica del pivot parziale.

 

Metto in posizione pivotale l'elemento di modulo massimo.

Caso 1: Supponendo che $|s|\leq 4$$|s|\leq 4$, non occorrono permutazioni di righe, quindi $P_{1}=I$$P_{1}=I$.

$$A_{1}=A$$

$$A_{1}=A$$

$$A_{2}=M_{1}A_{1}$$

$$A_{2}=M_{1}A_{1}$$

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-s/4&0&1\end{array}}$$

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-s/4&0&1\end{array}}$$

$$A_{1}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

$$A_{1}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

Nell'eseguire il prodotto, tengo conto che la prima riga viene lasciata inalterata, la prima colonna viene annullata, mentre calcolo la sottomatrice $2\times 2$$2\times 2$ in basso a destra.

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

Anche $P_{2}=id$$P_{2}=id$ perché $4>1$$4>1$,

$$A_{3}=M_{2}A_{2}$$

$$A_{3}=M_{2}A_{2}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-1/4&1\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-1/4&1\end{array}}$$

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

Allora eseguendo il prodotto:

$$M_{2}A_{2}=U={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&0&\alpha -s^{2}/4-1/4\end{array}}$$

$$M_{2}A_{2}=U={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&0&\alpha -s^{2}/4-1/4\end{array}}$$

Allora $L$$L$ è la matrice con 1 sulla diagonale, triangolare inferiore, e dove nella parte superiore si affiancano le colonne date dai moltiplicatori, allora, tenendo conto che $M_{21}=0,M_{31}=s/4,M_{32}=1/4$$M_{21}=0,M_{31}=s/4,M_{32}=1/4$ allora:

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\s/4&1/4&1\end{array}}$$

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\s/4&1/4&1\end{array}}$$

$$P=P_{2}P_{1}=id$$

$$P=P_{2}P_{1}=id$$

Caso 2: $|s|>4$$|s|>4$. In questo caso devo scambiare la prima riga con la terza.

$$A_{1}=A$$

$$A_{1}=A$$

$$P_{1}={\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}}$$

$$P_{1}={\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}}$$

Allora $M_{1}$$M_{1}$ va applicata alla permutata $P_{1}A_{1}$$P_{1}A_{1}$, cioè:

$$A_{2}=M_{1}(P_{1}A_{1})$$

$$A_{2}=M_{1}(P_{1}A_{1})$$

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-4/s&0&1\end{array}}$$

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-4/s&0&1\end{array}}$$

$$P_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\4&0&s\end{array}}$$

$$P_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\4&0&s\end{array}}$$

$$M_{1}P_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&-4/s&-4\alpha /s+s\end{array}}$$

$$M_{1}P_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&-4/s&-4\alpha /s+s\end{array}}$$

Non è necessario fare ulteriori scambi di righe, infatti $4>-4/s$$4>-4/s$.

$$A_{3}=M_{2}(A_{2})$$

$$A_{3}=M_{2}(A_{2})$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&1/s&1\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&1/s&1\end{array}}$$

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&-4/s&-4\alpha /s+s\end{array}}$$

$$A_{2}={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&-4/s&-4\alpha /s+s\end{array}}$$

allora

$$A_{3}=U={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&0&1/s-4\alpha /s+s\end{array}}$$

$$A_{3}=U={\begin{array}{ccc}s&1&\alpha \\0&4&1\\0&0&1/s-4\alpha /s+s\end{array}}$$

Invece

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-4/s&1/s&1\end{array}}$$

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-4/s&1/s&1\end{array}}$$

$$P=P_{2}P_{1}=P_{1}$$

$$P=P_{2}P_{1}=P_{1}$$

Esercizio 8.3

Data la matrice:

$${\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1.0001&2\\1&2&2\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1.0001&2\\1&2&2\end{array}}$$

e il vettore

$${\boldsymbol {b}}=(1,2,1)$$

$${\boldsymbol {b}}=(1,2,1)$$

risolvere il sistema

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

con e senza tecnica di pivot.

 

Soluzione senza tecnica di pivot:

Passo 1:

$$M={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}}$$

$$M={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}}$$

$$M_{1}A={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&1&1\end{array}}$$

$$M_{1}A={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&1&1\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-10^{4}&1\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-10^{4}&1\end{array}}$$

$$M_{2}A_{2}=U={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&0&1-10^{4}\end{array}}$$

$$M_{2}A_{2}=U={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&0&1-10^{4}\end{array}}$$

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&0&0\\-1&-10^{4}&1\end{array}}$$

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&0&0\\-1&-10^{4}&1\end{array}}$$

$${\boldsymbol {b}}=(1,2,1)$$

$${\boldsymbol {b}}=(1,2,1)$$

$${\boldsymbol {c}}=(1,1,1-10^{4})$$

$${\boldsymbol {c}}=(1,1,1-10^{4})$$

Risolvo quindi

$$U{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {c}}$$

$$U{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {c}}$$

$$(1-10^{4})x_{3}=1-10^{4}$$

$$(1-10^{4})x_{3}=1-10^{4}$$

$$x_{3}=1$$

$$x_{3}=1$$

$$10^{-4}x_{2}=-1+1\,\longrightarrow \,x_{2}=0$$

$$10^{-4}x_{2}=-1+1\,\longrightarrow \,x_{2}=0$$

$$x_{1}=-1+1=0$$

$$x_{1}=-1+1=0$$

$${\boldsymbol {x}}=(0,0,1)$$

$${\boldsymbol {x}}=(0,0,1)$$

Con tecnica di pivoting:

Il primo passo è uguale al precedente, e ottengo:

$$M_{1}A=Q_{1}={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&1&1\end{array}}$$

$$M_{1}A=Q_{1}={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&10^{-4}&1\\0&1&1\end{array}}$$

scambio le righe:

$${\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&1\\0&10^{-4}&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&1\\0&10^{-4}&1\end{array}}$$

$$U={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1-10^{-4}\end{array}}$$

$$U={\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1-10^{-4}\end{array}}$$

Prima permuto il termine noto: ${\bar {\boldsymbol {b}}}=(1,1,2)$${\bar {\boldsymbol {b}}}=(1,1,2)$, e poi risolvo il sistema $L{\boldsymbol {y}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$$L{\boldsymbol {y}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$:

$${\boldsymbol {y}}=(1,0,2)$$

$${\boldsymbol {y}}=(1,0,2)$$

$$x_{3}={\frac {2}{1-10^{-4}}}=1+{\frac {1+10^{-4}}{1-10^{-4}}}$$

$$x_{3}={\frac {2}{1-10^{-4}}}=1+{\frac {1+10^{-4}}{1-10^{-4}}}$$

$$x_{2}=-x_{3}$$

$$x_{2}=-x_{3}$$

$$x_{1}=1$$

$$x_{1}=1$$

$${\boldsymbol {x}}=(1,-{\frac {2}{1-10^{-4}}},{\frac {2}{1-10^{-4}}})$$

$${\boldsymbol {x}}=(1,-{\frac {2}{1-10^{-4}}},{\frac {2}{1-10^{-4}}})$$

$${\boldsymbol {x}}_{\ast }=(1,-1,1)$$

$${\boldsymbol {x}}_{\ast }=(1,-1,1)$$

Senza usare la tecnica del pivot la soluzione viene molto diversa da quella esatta.

Esercizio 8.4

Nell'insieme

$$F=\{(\pm 0\alpha _{1}\alpha _{2})10^{e},\quad -2<e<2\}=F(10,2,-2,2)$$

$$F=\{(\pm 0\alpha _{1}\alpha _{2})10^{e},\quad -2<e<2\}=F(10,2,-2,2)$$

Calcolare la fattorizzazione $PA=LU$$PA=LU$ con tecnica di pivot parziale della seguente matrice:

$$A=\left({\begin{array}{cc}1&10\\\varepsilon &3\end{array}}\right)$$

$$A=\left({\begin{array}{cc}1&10\\\varepsilon &3\end{array}}\right)$$

ponendo $\varepsilon =0.5,50,500$$\varepsilon =0.5,50,500$.

 

caso 1: se $1\geq |\varepsilon |$$1\geq |\varepsilon |$, allora $P_{1}=I$$P_{1}=I$.

$$A_{1}=A$$

$$A_{1}=A$$

$$A_{2}=M_{1}(A_{1})$$

$$A_{2}=M_{1}(A_{1})$$

$$M_{1}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\-\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$M_{1}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\-\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$A=\left({\begin{array}{cc}1&10\\\varepsilon &3\end{array}}\right)$$

$$A=\left({\begin{array}{cc}1&10\\\varepsilon &3\end{array}}\right)$$

$$M_{1}A_{1}=A_{2}=U=\left({\begin{array}{cc}1&10\\0&-10\varepsilon +3\end{array}}\right)$$

$$M_{1}A_{1}=A_{2}=U=\left({\begin{array}{cc}1&10\\0&-10\varepsilon +3\end{array}}\right)$$

$$L=\left({\begin{array}{cc}1&0\\\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$L=\left({\begin{array}{cc}1&0\\\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$P=P_{1}=I$$

$$P=P_{1}=I$$

Caso 2: se $1\leq |\varepsilon |$$1\leq |\varepsilon |$, scambio le righe:

$$P_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$$

$$P_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$$

$$A_{2}=M_{1}(P_{1}A_{1})$$

$$A_{2}=M_{1}(P_{1}A_{1})$$

$$M_{1}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\-1/\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$M_{1}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\-1/\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$PA_{1}=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &3\\1&10\end{array}}\right)$$

$$PA_{1}=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &3\\1&10\end{array}}\right)$$

$$U=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &3\\0&-3/\varepsilon +10\end{array}}\right)$$

$$U=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &3\\0&-3/\varepsilon +10\end{array}}\right)$$

$$L=\left({\begin{array}{cc}1&0\\1/\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

$$L=\left({\begin{array}{cc}1&0\\1/\varepsilon &1\end{array}}\right)$$

(conti in aritmetica esatta).
Ora supponiamo $\varepsilon =0.5$$\varepsilon =0.5$. $\varepsilon \in F$$\varepsilon \in F$. Siamo nel caso 1, infatti $0.5<1$$0.5<1$.

Ripercorrendo le stesse operazioni,

$$-10\varepsilon +3=-10*0.5+3=-5+3=-2\in F$$

$$-10\varepsilon +3=-10*0.5+3=-5+3=-2\in F$$

Supponiamo $\varepsilon =50$$\varepsilon =50$. $50\in F$$50\in F$, sono nel caso $2$$2$. Ripercorrendo le operazioni, bisogna verificare che il moltiplicatore $-1/\varepsilon \in F$$-1/\varepsilon \in F$.

$$-1/50=0.02=0.2*10^{-1}\in F$$

$$-1/50=0.02=0.2*10^{-1}\in F$$

Considero poi:

$$-3/\varepsilon +10=10-3*0.02=10-0.06=9.94=0.994*10^{1}=$$

$$-3/\varepsilon +10=10-3*0.02=10-0.06=9.94=0.994*10^{1}=$$

$$\mathrm {fl} (0.994*10^{1})=0.99*10^{1}$$

$$\mathrm {fl} (0.994*10^{1})=0.99*10^{1}$$

Se infine pongo $\varepsilon =500=0.5*10^{3}$$\varepsilon =500=0.5*10^{3}$, si ha $500\not \in F$$500\not \in F$, e non riesco a rappresentare i dati.

Esercizio 8.5 (fattorizzazione di Cholesky)

Calcolare la fattorizzazione di Cholesky della matrice $A$$A$.

$$A={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\s&1&\alpha \end{array}}$$

 

Mi chiedo se la matrice è simmetrica e definita positiva.

La simmetria è verificata. Per la definita positività, uso il criterio di Sylvester:

$$M_{1}=4>0$$

$$M_{1}=4>0$$

$$M_{2}=16>0$$

$$M_{2}=16>0$$

$$M_{3}=16\alpha -4-4s^{2}$$

$$M_{3}=16\alpha -4-4s^{2}$$

e bisogna imporre che anche l'ultimo minore sia maggiore di 0, cioè

$$1+s^{2}<\alpha$$

$$1+s^{2}<\alpha$$

ma siccome $1+s^{2}>0$$1+s^{2}>0$, allora $\alpha >0$$\alpha >0$. ($\alpha >0$$\alpha >0$ si poteva concludere a priori, infatti una matrice è definita positiva se ha entrate sulla diagonale positive)

Passo 1:

$$\rho _{1}={\sqrt {A_{11}}}=2$$

$$\rho _{1}={\sqrt {A_{11}}}=2$$

$$r_{1}=(0,s/2)^{t}{\hbox{vettore riga accanto a }}\rho _{1}{\hbox{diviso per }}\rho _{1}$$

$$r_{1}=(0,s/2)^{t}{\hbox{vettore riga accanto a }}\rho _{1}{\hbox{diviso per }}\rho _{1}$$

$$r_{1,\ast }^{t}r_{1,\ast }=A_{a}st-r_{1}r_{1}^{t}=$$

$$r_{1,\ast }^{t}r_{1,\ast }=A_{a}st-r_{1}r_{1}^{t}=$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha \end{array}})-(0,s/2)(0,s/2)^{t}$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha \end{array}})-(0,s/2)(0,s/2)^{t}$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha \end{array}}-{\begin{array}{cc}0&0\\0&s^{2}/4\end{array}}$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha \end{array}}-{\begin{array}{cc}0&0\\0&s^{2}/4\end{array}}$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

$$={\begin{array}{cc}4&1\\1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

Passo 2:

$$\rho _{2}={\sqrt {A_{22}}}=2$$

$$\rho _{2}={\sqrt {A_{22}}}=2$$

$${\boldsymbol {r}}_{2}=1/2$$

$${\boldsymbol {r}}_{2}=1/2$$

$$R_{2,\ast }^{t}R_{2,\ast }=\alpha -s^{2}/4-1/2*1/2$$

$$R_{2,\ast }^{t}R_{2,\ast }=\alpha -s^{2}/4-1/2*1/2$$

Passo 3:

$$\rho _{3}={\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}$$

$$\rho _{3}={\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}$$

$$\alpha -s^{2}/4-1/4>0$$

$$\alpha -s^{2}/4-1/4>0$$

$$4\alpha >s^{2}+1\quad {\hbox{condizione ottenuta prima con Sylvester}}$$

$$4\alpha >s^{2}+1\quad {\hbox{condizione ottenuta prima con Sylvester}}$$

Allora, la matrice triangolare superiore tale che $A=R^{t}R$$A=R^{t}R$ è della forma:

$$R={\begin{array}{ccc}\rho _{1}&{\boldsymbol {r}}_{1}&\\0&\rho _{2}&{\boldsymbol {r}}_{2}\\0&0&\rho _{3}\end{array}}$$

$$R={\begin{array}{ccc}\rho _{1}&{\boldsymbol {r}}_{1}&\\0&\rho _{2}&{\boldsymbol {r}}_{2}\\0&0&\rho _{3}\end{array}}$$

$$R={\begin{array}{ccc}2&0&s/2\\0&2&1/2\\0&0&{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-174}}\end{array}}$$

$$R={\begin{array}{ccc}2&0&s/2\\0&2&1/2\\0&0&{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-174}}\end{array}}$$

Procedimento alternativo: Sappiamo anche che, se $A=LU$$A=LU$, allora $R=D^{-1/2}U$$R=D^{-1/2}U$, dove $D$$D$ è la diagonale di $U$$U$. Determino la matrice $U$$U$ con l'eliminazione gaussiana:

$${\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-s/4&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-s/4&0&1\end{array}}$$

$$M_{1}A=A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

$$M_{1}A=A_{2}={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&1&\alpha -s^{2}/4\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-1/4&1\end{array}}$$

$$M_{2}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-1/4&1\end{array}}$$

$$M_{2}A_{2}=A_{3}=U={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&0&\alpha -s^{2}/4-1/4\end{array}}$$

$$M_{2}A_{2}=A_{3}=U={\begin{array}{ccc}4&0&s\\0&4&1\\0&0&\alpha -s^{2}/4-1/4\end{array}}$$

$$D^{-1/2}=(2,2,{\frac {1}{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}})$$

$$D^{-1/2}=(2,2,{\frac {1}{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}})$$

Quindi

$$D^{-1/2}U=\left({\begin{array}{ccc}2&0&s\\0&2&1/2\\0&0&{\frac {\alpha -s^{2}/4-1/4}{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}}={\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}\end{array}}\right)$$

$$D^{-1/2}U=\left({\begin{array}{ccc}2&0&s\\0&2&1/2\\0&0&{\frac {\alpha -s^{2}/4-1/4}{\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}}={\sqrt {\alpha -s^{2}/4-1/4}}\end{array}}\right)$$

Esercizio 8.6

Data la matrice

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&\alpha +\beta &0\\\beta &0&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&\alpha +\beta &0\\\beta &0&1\end{array}}$$

calcolarne la fattorizzazione di Cholesky quando possibile.

 

Per poter applicare la fattorizzazione di Cholesky, $A$$A$ deve essere simmetrica, quindi necessariamente $\alpha =\beta$$\alpha =\beta$

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&2\alpha &0\\\alpha &0&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&2\alpha &0\\\alpha &0&1\end{array}}$$

Impongo la positività:

$$\det M_{1}=1>0$$

$$\det M_{1}=1>0$$

$$\det M_{2}=2\alpha >0\,\longrightarrow \,\alpha >0$$

$$\det M_{2}=2\alpha >0\,\longrightarrow \,\alpha >0$$

$$\det M_{3}=1*2\alpha -\alpha *2\alpha ^{2}=-2\alpha ^{3}+2\alpha >0$$

$$\det M_{3}=1*2\alpha -\alpha *2\alpha ^{2}=-2\alpha ^{3}+2\alpha >0$$

$$2\alpha (\alpha ^{2}-1)<0$$

$$2\alpha (\alpha ^{2}-1)<0$$

$$\alpha >0\vee \alpha -<1\wedge \alpha >1\quad \longrightarrow \quad \alpha <-1\wedge 0<\alpha <1$$

$$\alpha >0\vee \alpha -<1\wedge \alpha >1\quad \longrightarrow \quad \alpha <-1\wedge 0<\alpha <1$$

e unendo alle informazioni già trovate, si ha necessariamente $0<\alpha <1$$0<\alpha<1$.

fattorizzazione di Cholesky:

1. Passo 1:
   $$\rho _{1}={\sqrt {1}}=1$$

   $$\rho _{1}={\sqrt {1}}=1$$
   $${\boldsymbol {r}}_{1}=(0,\alpha )$$

   $${\boldsymbol {r}}_{1}=(0,\alpha )$$
   $$R_{\ast }^{t}R_{\ast }={\begin{array}{cc}2\alpha &0\\0&1\end{array}}-{\begin{array}{cc}0&0\\0&\alpha \end{array}}={\begin{array}{cc}2\alpha &0\\0&1-\alpha \end{array}}$$

   $$R_{\ast }^{t}R_{\ast }={\begin{array}{cc}2\alpha &0\\0&1\end{array}}-{\begin{array}{cc}0&0\\0&\alpha \end{array}}={\begin{array}{cc}2\alpha &0\\0&1-\alpha \end{array}}$$
2. Passo 2:
   $$\rho _{2}={\sqrt {2\alpha }}$$

   $$\rho _{2}={\sqrt {2\alpha }}$$
   (è ben definita perché $\alpha >0$$\alpha >0$)
   $${\boldsymbol {r}}_{2}=0$$

   $${\boldsymbol {r}}_{2}=0$$
   $$R_{\ast }^{t}R_{\ast }=1-\alpha$$

   $$R_{\ast }^{t}R_{\ast }=1-\alpha$$
3. Passo 3:
   $$\rho _{3}={\sqrt {1-\alpha }}$$

   $$\rho _{3}={\sqrt {1-\alpha }}$$
   $$1-\alpha >0\,\longrightarrow \,\alpha -1<0$$

   $$1-\alpha >0\,\longrightarrow \,\alpha -1<0$$
   e questo è vero perché $\alpha <1$$\alpha <1$.

Quindi si ottiene:

$$R={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&{\sqrt {2\alpha }}&0\\0&0&{\sqrt {1-\alpha }}\end{array}}$$

$$R={\begin{array}{ccc}1&0&\alpha \\0&{\sqrt {2\alpha }}&0\\0&0&{\sqrt {1-\alpha }}\end{array}}$$