Tema 9

Esercizio 9.36

Sia data la funzione definita da

che ha un punto fisso in . La funzione ha altri punti fissi? Si studi graficamente la convergenza del metodo iterativo
e si indichi anche l'ordine di convergenza del metodo.

 


Studio la funzione : la funzione tende a per , e tende a per . Ha un asintoto verticale per . Cerco le intersezioni con la bisettrice:

Supponendo , moltiplico per :
allora l'unico punto fisso è .
La funzione è crescente se o . Le intersezioni con l'asse y sono

Ordine di convergenza:

quindi l'ordine di convergenza è 2.

  1. per ho una successione monotona decrescente che converge.
  2. la convergenza avviene anche negli altri casi ma è una convergenza alternata.


Esercizio 9.37

Indicare per quali valori di esiste uno ed un unico polinomio di secondo grado tale che

per ogni insieme di dati .

 


Per determinare un polinomio interpolante di secondo grado, devo trovare tali che

quindi si può avere se e solo se
Inoltre impongo
e verifico per quali terne il sistema seguente ha un'unica soluzione:
Dalla prima equazione ricavo
e sostituendo nelle altre
Sottraendo membro a membro ottengo:
Il coefficiente che moltiplica dev'essere diverso da 0.
quindi dev'essere , .


Quindi

quindi
Inoltre
quindi dev'essere anche .


Il polinomio interpolante esiste unico se sono soddisfatte le seguenti condizioni:


Esercizio 9.38

Determinare il grado di precisione della formula di quadratura

utilizzare tale formula per approssimare il valore dell'integrale definito
e confrontare l'errore commesso con l'errore che si commette approssimando il medesimo integrale con la formula dei trapezi composita considerando solo due intervalli.

 


Grado di precisione 0:

condizione verificata


Grado di precisione 1:

condizione verificata


Grado di precisione 2:

condizione verificata


Grado di precisione 3:

quindi il grado di precisione è almeno 3 se è soddisfatta la condizione scritta sopra, e in particolare è 3 sull'intervallo .


Calcolo

Con la formula dei trapezi
Con la formula data:

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