Tema 8

Esercizio 9.32

Calcolare il numero di condizionamento della funzione

e stabilire per quali il calcolo della funzione è ben condizionato nel senso che .

 


Dominio della funzione:

Quindi .
Quindi il prolema è mal condizionato se .


Esercizio 9.33

Si consideri

  • trovare il polinomio che interpoli la funzione nei nodi .
  • trovare la spline lineare interpolante scegliendo come nodi della suddivisione dell'intervallo i nodi del punto precedente.
  • stimare il numero di sottointervalli di uuale ampiezza necessari per approssimare la funzione con una spline lineare interpolante a meno di un errore di .
 

Algoritmo alla neville:

Spline interpolante: Determino i coefficienti tali che:

Impongo le condizioni di interpolazione e di raccordo con continuità:
Sostituendo nelle altre equazioni ottengo:
Inoltre ricavo .
Sottraggo membro a membro le prime due equazioni
Sottraggo la terza e la quarta equazione:
Quindi


Esercizio 9.34

Determinare i coefficienti in modo che la formula di quadratura:

sia esatta per polinomi di grado 3. Applicare la formula trovata all'integrale definito
utilizzando la stima asintotica dell'errore stimare quanti sottointervalli sono necessari affinché l'errore assoluto relativo all'approssimazione di con il metodo dei trapezi compositi sia inferiore a .

 
  1. Impongo grado di precisione 0.per :
  2. impongo grado di precisione 1 con :
  3. Impongo grado di precisione 2:
  4. impongo grado di precisione 3

Quindi risolvo il sistema:

Sottraggo le ultime due equazioni:
Sostituendo nella terza
Sostituendo nel sistema:
Quindi
Applico la formula a
Invece l'integrale esatto vale

Con il metodo dei trapezi compositi la stima asintotica dell'errore è

Approssimando la derivata seconda
Impongo


Esercizio 9.35

Siano assegnati punti distinti appartenenti a un intervallo , . Si indichi con il polinomio di Lagrange corrispondente al punto e dimostrare che

 


Dimostro per induzione: per :

Passo induttivo: suppongo che l'asserto sia vero per e lo dimostro per .

Facendo la sommatoria

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