Tema 7

Esercizio 9.29

Data la funzione

  1. stimare il numero minimo di intervalli necessari per approssimare sull'intervallo con errore assoluto utilizzando il metodo di interpolazione composita mediante spline lineare.
  2. approssimare il valore dell'integrale definito
    mediante il metodo dei trapezi compositi utilizzando quattro intervalli di uguale ampiezza e stimare l'errore commesso utilizzando la stima asintotica dell'errore.
 

In questo caso , con numero dei sottointervalli.
La derivata terza è sempre negativa, quindi la derivata seconda è sempre decrescente e assume il suo massimo in .

Per la formula dei trapezi composita, considerando i cinque nodi , si ha

Integrale esatto:
Stimo l'errore commesso:
Per approssimare la derivata seconda


Esercizio 9.30

Dato il sistema

con e
.

  1. trovare un c.n.s. su affinché il metodo di Jacobi sia convergente.
  2. trovare un c.n.s. su affinché il metodo di Gauss-Seidel sia convergente
  3. costruire la matrice di iterazione del metodo di Jacobi e calcolare in funzione del parametro
  4. nel caso particolare , stimare il numero minimo di iterazioni sia del metodo di Jacobi sia del metodo di Gauss-Seidel affinché l'errore relativo soddisfi
    dove è la soluzione esatta del sistema e l'iterata k-esima.
 
  1. Affinché il metodo di Jacobi sia convergente, calcolo gli autovalori della matrice di iterazione.
    Impongo , , , e il metodo converge se o .
  2. Per il metodo di Gauss-Seidel:
  3. La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è
    Nel caso :
    Quindi per ogni .
  4. Per :
    Supponendo ,
    iterazioniPer gauss-seidel:
    iterazioni


Esercizio 9.31

Sia data la funzione definita a tratti:

e il metodo di punto fisso
Si studi in maniera grafica la convergenza del metodo indicando eventualmente l'ordine di convergenza.

 

Cerco gli eveuntuali punti fissi:

Quindi due punti fissi sono e .


Per , la funzione è sempre positiva, è crescente, le intersezioni con la bisettrice si ottengono risolvendo:

e osservo che per l'equazione è risolta.


Quindi ci sono tre punti fissi: , e .

  1. per si ha convergenza alternata, e la successione delle iterate oscilla attorno al punto .
  2. Per , la successione delle iterate è decrescente e converge a .
  3. per la successione delle iterate è decrescente e converge a .
  4. per la successione è crescente e illimitata.

Determino gli ordini di convergenza:

  1. Per
    quindi l'ordine di convergenza è 2.
  2. per ,
    e l'ordine di convergenza è 1.
  3. Per il metodo non convergeinfatti
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