Tema 7

Esercizio 9.29

Data la funzione

f(x)={\frac {1}{x+1/2}}+x

stimare il numero minimo di intervalli necessari per approssimare $f(x)$ $f(x)$ sull'intervallo $[0,2]$ $[0,2]$ con errore assoluto $\leq 10^{-4}$ $\leq 10^{-4}$ utilizzando il metodo di interpolazione composita mediante spline lineare.
approssimare il valore dell'integrale definito
$\int _{0}^{2}f(x)\,dx$
$\int _{0}^{2}f(x)\,dx$
mediante il metodo dei trapezi compositi utilizzando quattro intervalli di uguale ampiezza e stimare l'errore commesso utilizzando la stima asintotica dell'errore.

|f(x)-s_{1}(x)|\leq h^{2}/8\max _{0<t<2}|f^{(2)}(t)|

In questo caso

h=2/m

, con

m

numero dei sottointervalli.

f(x)={\frac {1}{x+1/2}}+x

f'(x)=-{\frac {1}{(x+1/2)^{2}}}+1

f''(x)={\frac {2}{(x+1/2)^{3}}}

f'''(x)=-{\frac {6}{(x+1/2)^{4}}}

La derivata terza è sempre negativa, quindi la derivata seconda è sempre decrescente e assume il suo massimo in

x=0

.

\max _{x\in [0,2]}f^{(2)}(\xi )=2/(1/2)^{3}=2^{4}

|f(x)-s_{1}(x)|\leq h^{2}/82^{4}

|f(x)-s_{1}(x)|\leq (2/m)^{2}/82^{4}

|f(x)-s_{1}(x)|\leq 2*(2/m)^{2}

2*(2/m)^{2}\leq 10^{-4}

2*4\leq m^{2}*10^{-4}

m\geq {\sqrt {8*10^{4}}}=282

Per la formula dei trapezi composita, considerando i cinque nodi $x_{1}=0,x_{2}=1/2,x_{3}=1,x_{4}=3/2,x_{5}=2$ $x_{1}=0,x_{2}=1/2,x_{3}=1,x_{4}=3/2,x_{5}=2$ , si ha

\int _{0}^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{3}f(x_{i})+1/2(f(x_{1})+f(x_{5}))

=1/2*(f(0)+f(2))+f(1/2)+f(1)+f(3/2)

f(0)={\frac {1}{1/2}}=2

f(1/2)=1+1/2=3/2

f(1)={\frac {1}{3/2}}+1=5/3

f(3/2)={\frac {1}{2}}+3/2=2

f(2)={\frac {1}{5/2}}+2=12/5

I=1/2*(12/5+2)+3/2+5/3+2

I=22/10+3/2+5/3+2

I=11/5+3/2+5/3+2

I={\frac {66+45+50+60}{30}}={\frac {221}{30}}

Integrale esatto:

\int _{0}^{2}{\frac {1}{x+1/2}}+x\,dx=[\log(x+1/2)+x?2/2]_{0}^{2}

=\log 5/2-\log 1/2+2=\log 5+2

Stimo l'errore commesso:

E_{r}\leq -h/12*H^{2}*f^{(2)}(\psi )

h=2,\,H=1/2

Per approssimare la derivata seconda

f^{(2)}(\xi )\sim {\frac {f'(b)-f'(a)}{b-a}}

f'(0)=-{\frac {1}{1/2^{2}}}+1=-4+1=-3

f'(2)=-{\frac {1}{(1/2+2)^{2}}}+1=-4/25+1=21/25

E_{r}\leq -{\frac {1}{12}}*1/4*(21/25+3)

E_{r}\leq -{\frac {1}{12}}*1/4*24/25={\frac {24}{48*25}}=1/50=0.8

Esercizio 9.30

Dato il sistema

A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}

con

{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3}

e

A=\left({\begin{array}{ccc}\alpha &4&1/2\\0&2\alpha &1\\-1&1&2\end{array}}\right)

\alpha \neq 0

.

trovare un c.n.s. su $\alpha$ $\alpha$ affinché il metodo di Jacobi sia convergente.
trovare un c.n.s. su $\alpha$ $\alpha$ affinché il metodo di Gauss-Seidel sia convergente
costruire la matrice di iterazione $P_{j}$ $P_j$ del metodo di Jacobi e calcolare $|P_{j}|_{1}$ $|P_{j}|_{1}$ in funzione del parametro $\alpha$ $\alpha$
nel caso particolare $\alpha =8$ $\alpha =8$ , stimare il numero minimo di iterazioni sia del metodo di Jacobi sia del metodo di Gauss-Seidel affinché l'errore relativo soddisfi
${\frac {|x-x_{k}|_{2}}{|x|_{2}}}\leq 10^{-8}$
${\frac {|x-x_{k}|_{2}}{|x|_{2}}}\leq 10^{-8}$
dove $x$ $x$ è la soluzione esatta del sistema e $x_{k}$ $x_k$ l'iterata k-esima.

Affinché il metodo di Jacobi sia convergente, calcolo gli autovalori della matrice di iterazione.
$A+\lambda D=\left({\begin{array}{ccc}\lambda \alpha &4&1/2\\0&2\lambda \alpha &1\\-1&1&2\lambda \end{array}}\right)$
$A+\lambda D=\left({\begin{array}{ccc}\lambda \alpha &4&1/2\\0&2\lambda \alpha &1\\-1&1&2\lambda \end{array}}\right)$
$P_{\lambda }=(\lambda \alpha ,4,1/2)\cdot (0,2\lambda \alpha ,1)\times (-1,1,2\lambda )$
$P_{\lambda }=(\lambda \alpha ,4,1/2)\cdot (0,2\lambda \alpha ,1)\times (-1,1,2\lambda )$
$P_{\lambda }=(\lambda \alpha ,4,1/2)\cdot (4\lambda ^{2}\alpha -1,-1,2\lambda \alpha )$
$P_{\lambda }=(\lambda \alpha ,4,1/2)\cdot (4\lambda ^{2}\alpha -1,-1,2\lambda \alpha )$
$P_{\lambda }=4\lambda ^{3}\alpha ^{2}-\lambda \alpha -4+\lambda \alpha$
$P_{\lambda }=4\lambda ^{3}\alpha ^{2}-\lambda \alpha -4+\lambda \alpha$
$\lambda ^{3}\alpha ^{2}+1=0$
$\lambda ^{3}\alpha ^{2}+1=0$
$\lambda =-{\sqrt[{3}]{1/\alpha ^{2}}}$
$\lambda =-{\sqrt[{3}]{1/\alpha ^{2}}}$
Impongo $1/\alpha ^{2}<1$ $1/\alpha ^{2}<1$ , $1<\alpha ^{2}$ $1<\alpha ^{2}$ , $\alpha ^{2}>1$ $\alpha ^{2}>1$ , e il metodo converge se $\alpha <-1$ $\alpha <-1$ o $\alpha >1$ $\alpha >1$ .
Per il metodo di Gauss-Seidel:
$\det[-(D+L)^{-1}U-\lambda I)=0$
$\det[-(D+L)^{-1}U-\lambda I)=0$
$-\det(D+L)^{-1}(U+\lambda (D+L))=0$
$-\det(D+L)^{-1}(U+\lambda (D+L))=0$
$\det(U+\lambda (D+L))=0$
$\det(U+\lambda (D+L))=0$
$U+\lambda (D+L)=\left({\begin{array}{ccc}\alpha \lambda &4&1/2\\0&2\alpha \lambda &1\\-\lambda &\lambda &2\lambda \end{array}}\right)$
$U+\lambda (D+L)=\left({\begin{array}{ccc}\alpha \lambda &4&1/2\\0&2\alpha \lambda &1\\-\lambda &\lambda &2\lambda \end{array}}\right)$
$p_{\lambda }=\alpha \lambda (4\alpha \lambda ^{2}-\lambda )-4(\lambda )+1/2(2\alpha \lambda ^{2})$
$p_{\lambda }=\alpha \lambda (4\alpha \lambda ^{2}-\lambda )-4(\lambda )+1/2(2\alpha \lambda ^{2})$
$=4\alpha ^{2}\lambda ^{3}-\alpha \lambda ^{2}-4\lambda +\alpha \lambda ^{2}=0$
$=4\alpha ^{2}\lambda ^{3}-\alpha \lambda ^{2}-4\lambda +\alpha \lambda ^{2}=0$
$=4\alpha ^{2}\lambda ^{3}-4\lambda =0$
$=4\alpha ^{2}\lambda ^{3}-4\lambda =0$
$\lambda _{1}=0$
$\lambda _{1}=0$
$\alpha ^{2}\lambda ^{2}-1=0$
$\alpha ^{2}\lambda ^{2}-1=0$
$\lambda =\pm {\sqrt {1/\alpha ^{2}}}=\pm 1/\alpha$
$\lambda =\pm {\sqrt {1/\alpha ^{2}}}=\pm 1/\alpha$
$1/\alpha <1$
$1/\alpha <1$
$\alpha >1,\quad {\hbox{c.n.s. per gauss-seidel}}$
$\alpha >1,\quad {\hbox{c.n.s. per gauss-seidel}}$
La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è
$P_{j}=D^{-1}(L+U)={\rm {{diag}(1/\alpha ,1/(2\alpha ),1/2)*\left({\begin{array}{ccc}0&4&1/2\\0&0&1\\-1&1&0\end{array}}\right)}}$
$P_{j}=D^{-1}(L+U)={\rm {{diag}(1/\alpha ,1/(2\alpha ),1/2)*\left({\begin{array}{ccc}0&4&1/2\\0&0&1\\-1&1&0\end{array}}\right)}}$
$P_{j}=D^{-1}(L+U)=\left({\begin{array}{ccc}0&4/\alpha &1/(2\alpha )\\0&0&1/(2\alpha )\\-1/2&1/2&0\end{array}}\right)$
$P_{j}=D^{-1}(L+U)=\left({\begin{array}{ccc}0&4/\alpha &1/(2\alpha )\\0&0&1/(2\alpha )\\-1/2&1/2&0\end{array}}\right)$
$|P_{j}|=\max _{j==1,2,3}(\sum _{i=1}^{3}|A_{ij}|)$
$|P_{j}|=\max _{j==1,2,3}(\sum _{i=1}^{3}|A_{ij}|)$
$=\max\{1,\,4/\alpha +1/2,\,1/(2\alpha )+1/(2\alpha )\}$
$=\max\{1,\,4/\alpha +1/2,\,1/(2\alpha )+1/(2\alpha )\}$
$=\max\{1/2,\,|4/\alpha +1/2|,\,|1/\alpha |\}$
$=\max\{1/2,\,|4/\alpha +1/2|,\,|1/\alpha |\}$
$1/2<4/\alpha +1/2\,\forall \alpha >0$
$1/2<4/\alpha +1/2\,\forall \alpha >0$
Nel caso $\alpha >0$ $\alpha >0$ :
$4/\alpha +1/2\leq 1/\alpha$
$4/\alpha +1/2\leq 1/\alpha$
$3/\alpha +1/2\leq 0$
$3/\alpha +1/2\leq 0$
$(6+\alpha )/(2\alpha )\leq 0$
$(6+\alpha )/(2\alpha )\leq 0$
$\alpha \leq -6$
$\alpha \leq -6$
Quindi $4/\alpha +1/2>1/\alpha$ $4/\alpha +1/2>1/\alpha$ per ogni $\alpha >0$ $\alpha >0$ .
$|A^{-1}|={\begin{cases}1/2&\iff \alpha <0\\4/\alpha +1/2&\iff \alpha >0\end{cases}}$
$|A^{-1}|={\begin{cases}1/2&\iff \alpha <0\\4/\alpha +1/2&\iff \alpha >0\end{cases}}$
Per $\alpha =8$ $\alpha =8$ :
$\rho (P_{j})={\sqrt[{3}]{\alpha }}=1/8^{2/3}=1/4$
$\rho (P_{j})={\sqrt[{3}]{\alpha }}=1/8^{2/3}=1/4$
$\rho (P_{g})=1/\alpha =1/8$
$\rho (P_{g})=1/\alpha =1/8$
Supponendo $x_{0}=0$ $x_0=0$ ,
${\frac {|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}{|{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}}=(\vert P_{j}\vert )^{k}*E_{0}$
${\frac {|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}{|{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}}=(\vert P_{j}\vert )^{k}*E_{0}$
$E_{0}={\frac {|{\boldsymbol {x}}_{\ast }-0|}{|{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}}=1$
$E_{0}={\frac {|{\boldsymbol {x}}_{\ast }-0|}{|{\boldsymbol {x}}_{\ast }|}}=1$
$(\rho (P_{j}))^{k}=10^{-8}$
$(\rho (P_{j}))^{k}=10^{-8}$
$k\geq \log _{\rho (P_{j})}10^{-8}=13.2$
$k\geq \log _{\rho (P_{j})}10^{-8}=13.2$
$14$ $14$ iterazioniPer gauss-seidel:
$k={\frac {\log 10^{-8}}{\log 1/8}}=8.85$
$k={\frac {\log 10^{-8}}{\log 1/8}}=8.85$
$9$ $9$ iterazioni

Esercizio 9.31

Sia data la funzione $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita a tratti:

g(x)={\begin{cases}1/2(2^{x}+x^{2}-1)&\iff x\geq 0\\x^{2}+2x&\iff x<0\end{cases}}

e il metodo di punto fisso

x_{k+1}=g(x_{k}),\,x_{0}\in \mathbb {R}

Si studi in maniera grafica la convergenza del metodo indicando eventualmente l'ordine di convergenza.

Cerco gli eveuntuali punti fissi:

x^{2}+2x=x

x^{2}+x=0

x(x+1)=0

x=0,\,\longrightarrow y=0

x=-1,\,\longrightarrow \,y=1-2=-1

Quindi due punti fissi sono

(0,0)

e

(-1,-1)

.

Per $x>0$ $x>0$ , la funzione è sempre positiva, è crescente, le intersezioni con la bisettrice si ottengono risolvendo:

2^{x}+x^{2}-1=2x

e osservo che per

x=1

l'equazione è risolta.

Quindi ci sono tre punti fissi: $(-1,-1)$ $(-1,-1)$ , $(0,0)$ $(0,0)$ e $(1,1)$ $(1,1)$ .

per $x_{0}<-1$ $x_{0}<-1$ si ha convergenza alternata, e la successione delle iterate oscilla attorno al punto $x_{1}=-1$ $x_{1}=-1$ .
Per $-1<x_{0}<0$ $-1<x_{0}<0$ , la successione delle iterate è decrescente e converge a $x_{1}=-1$ $x_{1}=-1$ .
per $0<x_{0}<1$ $0<x_{0}<1$ la successione delle iterate è decrescente e converge a $x_{1}=0$ $x_{1}=0$ .
per $x_{0}>1$ $x_{0}>1$ la successione è crescente e illimitata.

Determino gli ordini di convergenza:

Per $x_{1}=-1$ $x_{1}=-1$
$g'(x)=2x+2,\,g'(-1)=-2+2=0$
$g'(x)=2x+2,\,g'(-1)=-2+2=0$
$g''(x)=2\neq 0$
$g''(x)=2\neq 0$
quindi l'ordine di convergenza è 2.
per $x_{2}=0$ $x_{2}=0$ ,
$g'(0)=2\neq 0$
$g'(0)=2\neq 0$
e l'ordine di convergenza è 1.
Per $x_{2}=1$ $x_{2}=1$ il metodo non convergeinfatti
$g'(x)=1/2*\log 2*2^{x}+x$
$g'(x)=1/2*\log 2*2^{x}+x$
$g'(1)=1/2*\log 2>1$
$g'(1)=1/2*\log 2>1$