Tema 6

Esercizio 9.26

Data la funzione

$$f(x)=\cos(\pi /2x),x\in [0,3]$$

$$f(x)=\cos(\pi /2x),x\in [0,3]$$

costruire il polinomio di grado 3 $p_{3}(x)$$p_{3}(x)$ che interpola $f$$f$ nei nodi $x_{i}=i,i=0,1,2,3$$x_{i}=i,i=0,1,2,3$. Calcolare l'errore di interpolazione nel punto $x=3/2$$x=3/2$ e fornire una maggiorazione dell'errore $\max _{x\in [0,3]}|f(x)-p_{3}(x)|$$\max _{x\in [0,3]}|f(x)-p_{3}(x)|$.

 

I nodi sono $(0,1),(1,0),(2,-1),(3,0)$$(0,1),(1,0),(2,-1),(3,0)$. Cerco il polinomio interpolante con l'algoritmo alla Neville:

$${\begin{array}{c|cccc}0&1&X&X&X\\1&0&-1&X&X\\2&-1&-1&0&X\\3&0&1&1&1/3\end{array}}$$

$${\begin{array}{c|cccc}0&1&X&X&X\\1&0&-1&X&X\\2&-1&-1&0&X\\3&0&1&1&1/3\end{array}}$$

$$p_{3}(x)=1-1*x+0*x*(x-1)+1/3*x*(x-1)*(x-2)$$

$$p_{3}(x)=1-1*x+0*x*(x-1)+1/3*x*(x-1)*(x-2)$$

$$p_{3}(x)=1-x+1/3*x*(x^{2}-x-2x+2)$$

$$p_{3}(x)=1-x+1/3*x*(x^{2}-x-2x+2)$$

$$p_{3}(x)=1/3*x^{3}-x^{2}+2/3x-x+1$$

$$p_{3}(x)=1/3*x^{3}-x^{2}+2/3x-x+1$$

$$p_{3}(x)=1/3*x^{3}-x^{2}-1/3x+1$$

$$p_{3}(x)=1/3*x^{3}-x^{2}-1/3x+1$$

L'errore di interpolazione nel punto $x=3/2$$x=3/2$ è

$$|p_{3}(3/2)-f(3/2)|=|1/3*(3/2)^{3}-(3/2)^{2}-1/3*3/2+1-\cos(3/4\pi )|$$

$$|p_{3}(3/2)-f(3/2)|=|1/3*(3/2)^{3}-(3/2)^{2}-1/3*3/2+1-\cos(3/4\pi )|$$

$$=|1/3*27/8-9/4-1/3*3/2+1+{\sqrt {2}}/2|$$

$$=|1/3*27/8-9/4-1/3*3/2+1+{\sqrt {2}}/2|$$

$$=|9/8-9/4-1/2+1+{\sqrt {2}}/2|$$

$$=|9/8-9/4-1/2+1+{\sqrt {2}}/2|$$

$$=|{\frac {9-18-4+8+4{\sqrt {2}}}{8}}|$$

$$=|{\frac {9-18-4+8+4{\sqrt {2}}}{8}}|$$

$$=|{\frac {-5+4{\sqrt {2}}}{8}}|=0.082$$

$$=|{\frac {-5+4{\sqrt {2}}}{8}}|=0.082$$

Una maggiorazione dell'erore è data da:

$$|P_{3}(x)-f(x)|\leq {\frac {f^{(4)}(\xi )}{4!}}*w_{4}(x),\,\xi \in [0,3]$$

$$|P_{3}(x)-f(x)|\leq {\frac {f^{(4)}(\xi )}{4!}}*w_{4}(x),\,\xi \in [0,3]$$

$$f'=-\pi /2*\sin(\pi /2x),\,f!=-\pi ^{2}/4*\cos(\pi /2x),\,f^{(3)}=\pi ^{3}/8*\sin(\pi /2x),\,f^{(4)}={\frac {\pi ^{4}}{16}}*\cos(\pi /2x)$$

$$f'=-\pi /2*\sin(\pi /2x),\,f!=-\pi ^{2}/4*\cos(\pi /2x),\,f^{(3)}=\pi ^{3}/8*\sin(\pi /2x),\,f^{(4)}={\frac {\pi ^{4}}{16}}*\cos(\pi /2x)$$

$$E_{r}={\frac {\pi ^{4}}{16*4!}}*\cos(\pi /2x)*x(x-1)(x-2)(x-3)$$

$$E_{r}={\frac {\pi ^{4}}{16*4!}}*\cos(\pi /2x)*x(x-1)(x-2)(x-3)$$

$$E_{r}\leq (\pi /2)^{4}*{\frac {1}{24}}*x(x-1)(x-2)(x-3)$$

$$E_{r}\leq (\pi /2)^{4}*{\frac {1}{24}}*x(x-1)(x-2)(x-3)$$

e questa funzione è crescente e assume il suo massimo in $x=3$$x=3$, quindi ottengo:

$$\max _{x\in [0,3]}|f(x)-P_{3}(x)|\leq 36|$$

$$\max _{x\in [0,3]}|f(x)-P_{3}(x)|\leq 36|$$

Esercizio 9.27

Data una funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con $f\in C^{1}([0,1])$$f\in C^{1}([0,1])$, si costruisca l'unico polinomio di grado 2, $p_{2}(x)$$p_{2}(x)$ che soddisfa le condizioni: $p_{2}(0)=f(0)$$p_{2}(0)=f(0)$, $p_{2}'(0)=f'(0)$$p_{2}'(0)=f'(0)$, $p_{2}(1)=f(1)$$p_{2}(1)=f(1)$. Si calcolino poi i coefficienti $a_{0},a_{1},a_{2}$$a_{0},a_{1},a_{2}$ della formula di quadratura

$$I(f)\sim a_{0}f(0)+a_{1}f(1)+a_{2}f'(0)=I(f)=\int _{0}^{1}f(x)\,dx$$

$$I(f)\sim a_{0}f(0)+a_{1}f(1)+a_{2}f'(0)=I(f)=\int _{0}^{1}f(x)\,dx$$

ottenuta mediante il calcolo esatto del seguente integrale definito:

$$I(f)=\int _{0}^{1}p_{2}(x)\,dx$$

$$I(f)=\int _{0}^{1}p_{2}(x)\,dx$$

 

Devo determinare i coefficienti $b_{0},b_{1},b_{2}$$b_{0},b_{1},b_{2}$ del polinomio $p(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$$p(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ che soddisfa le condizioni date:

$$p_{2}(0)=b_{0}=f(0)$$

$$p_{2}(0)=b_{0}=f(0)$$

$$p_{2}'(0)=b_{1}=f'(0)$$

$$p_{2}'(0)=b_{1}=f'(0)$$

$$p_{2}(1)=b_{0}+b_{1}+b_{2}=f(1)$$

$$p_{2}(1)=b_{0}+b_{1}+b_{2}=f(1)$$

Quindi si ha $b_{2}=f(1)-f(0)-f'(0)$$b_{2}=f(1)-f(0)-f'(0)$, e il polinomio si scrive come:

$$p_{2}(x)=(f(1)-f(0)-f'(0))x^{2}+f'(0)x+f(0)$$

$$p_{2}(x)=(f(1)-f(0)-f'(0))x^{2}+f'(0)x+f(0)$$

$$\int _{0}^{1}p_{2}(x)\,dx=$$

$$\int _{0}^{1}p_{2}(x)\,dx=$$

$$\int _{0}^{1}(f(1)-f(0)-f'(0))x^{2}+f'(0)x+f(0)\,dx=$$

$$\int _{0}^{1}(f(1)-f(0)-f'(0))x^{2}+f'(0)x+f(0)\,dx=$$

$$[(f(1)-f(0)-f'(0))x^{3}/3+f'(0)x^{2}/2+f(0)x]_{0}^{1}=$$

$$[(f(1)-f(0)-f'(0))x^{3}/3+f'(0)x^{2}/2+f(0)x]_{0}^{1}=$$

$$1/3(f(1)-f(0)-f'(0))+1/2f'(0)+f(0)=$$

$$1/3(f(1)-f(0)-f'(0))+1/2f'(0)+f(0)=$$

$$1/3f(1)+(1-1/3)f(0)+(1/2-1/3)f'(0)=$$

$$1/3f(1)+(1-1/3)f(0)+(1/2-1/3)f'(0)=$$

$$1/3f(1)+2/3f(0)+1/6f'(0)$$

$$1/3f(1)+2/3f(0)+1/6f'(0)$$

Quindi

$$a_{0}=2/3,\,a_{1}=1/3,\,a_{2}=1/6$$

$$a_{0}=2/3,\,a_{1}=1/3,\,a_{2}=1/6$$

Esercizio 9.28

Data la matrice $A$$A$ di dimensione $n\times n$$n\times n$, con $n\geq 3$$n \ge 3$:

$$A={\begin{array}{ccccc}n^{2}+1&-1&0&\dots &1\\-1&n+1&-1&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &-1&n+1&-1\\1&\dots &\dots &-1&n^{2}-1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccccc}n^{2}+1&-1&0&\dots &1\\-1&n+1&-1&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &-1&n+1&-1\\1&\dots &\dots &-1&n^{2}-1\end{array}}$$

fornire una maggiorazione per $K_{2}(A)$$K_{2}(A)$ al variare di $n$$n$. Nel caso particolare $n=3$$n=3$, posto $z_{0}=(0,5,0)^{t}$$z_{0}=(0,5,0)^{t}$, applicare un passo del metodo delle potenze per fornire un'approssimazione $\lambda$$\lambda$ dell'autovalore di modulo massimo.

 

Nel caso generale, $A$$A$ è simmetrica e quindi $A=A_{h}$$A=A_{h}$.

$$K_{2}(A)=\vert A\vert _{2}*\vert A^{-1}\vert _{2}$$

$$K_{2}(A)=\vert A\vert _{2}*\vert A^{-1}\vert _{2}$$

$$={\sqrt {\frac {\lambda _{max}(A_{h}A)}{\lambda _{min}(A_{h}A}}}$$

$$={\sqrt {\frac {\lambda _{max}(A_{h}A)}{\lambda _{min}(A_{h}A}}}$$

$$={\frac {\lambda _{max}(A)}{\lambda _{min}(A)}}$$

$$={\frac {\lambda _{max}(A)}{\lambda _{min}(A)}}$$

Per determinare dove si trovano gli autovalori di $A$$A$ li localizzo con i cerchi di Gerschgorin.

$$|\lambda -n^{2}-1|<2,\,\longrightarrow \,n^{2}-1<\lambda <n^{3}+3$$

$$|\lambda -n^{2}-1|<2,\,\longrightarrow \,n^{2}-1<\lambda <n^{3}+3$$

$$|\lambda -n-1|<2,\,\longrightarrow \,n-1<\lambda <n+3$$

$$|\lambda -n-1|<2,\,\longrightarrow \,n-1<\lambda <n+3$$

$$|\lambda -n^{2}+1|<2\,\longrightarrow \,n^{2}-3<\lambda <n^{2}+1$$

$$|\lambda -n^{2}+1|<2\,\longrightarrow \,n^{2}-3<\lambda <n^{2}+1$$

Quindi $\lambda _{max}\leq n^{3}+3$$\lambda _{max}\leq n^{3}+3$, $\lambda _{min}\geq n-1$$\lambda _{min}\geq n-1$, quindi

$$K_{2}(A)\leq {\frac {n^{2}+3}{n-1}}\sim n$$

$$K_{2}(A)\leq {\frac {n^{2}+3}{n-1}}\sim n$$

Nel caso $n=3$$n=3$:

$$A={\begin{array}{ccc}10&-1&1\\-1&4&-1\\1&-1&8\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}10&-1&1\\-1&4&-1\\1&-1&8\end{array}}$$

Passo del metodo delle potenze:

$${\boldsymbol {y}}_{0}={\frac {{\boldsymbol {z}}_{0}}{\vert {\boldsymbol {z}}_{0}\vert }}=(0,1,0)$$

$${\boldsymbol {y}}_{0}={\frac {{\boldsymbol {z}}_{0}}{\vert {\boldsymbol {z}}_{0}\vert }}=(0,1,0)$$

$${\boldsymbol {z}}_{1}=A{\boldsymbol {y}}_{0}=(-1,4,-1)$$

$${\boldsymbol {z}}_{1}=A{\boldsymbol {y}}_{0}=(-1,4,-1)$$

$$\sigma ={\boldsymbol {y}}_{0}^{h}{\boldsymbol {z}}_{1}=(0,1,0)^{t}*(-1,4,1)=4,{\hbox{approssimazione dell'autovalore}}$$

$$\sigma ={\boldsymbol {y}}_{0}^{h}{\boldsymbol {z}}_{1}=(0,1,0)^{t}*(-1,4,1)=4,{\hbox{approssimazione dell'autovalore}}$$