Tema 6

Esercizio 9.26

Data la funzione

costruire il polinomio di grado 3 che interpola nei nodi . Calcolare l'errore di interpolazione nel punto e fornire una maggiorazione dell'errore .

 

I nodi sono . Cerco il polinomio interpolante con l'algoritmo alla Neville:

L'errore di interpolazione nel punto è

Una maggiorazione dell'erore è data da:

e questa funzione è crescente e assume il suo massimo in , quindi ottengo:

Esercizio 9.27

Data una funzione con , si costruisca l'unico polinomio di grado 2, che soddisfa le condizioni: , , . Si calcolino poi i coefficienti della formula di quadratura

ottenuta mediante il calcolo esatto del seguente integrale definito:

 

Devo determinare i coefficienti del polinomio che soddisfa le condizioni date:

Quindi si ha , e il polinomio si scrive come:
Quindi


Esercizio 9.28

Data la matrice di dimensione , con :

fornire una maggiorazione per al variare di . Nel caso particolare , posto , applicare un passo del metodo delle potenze per fornire un'approssimazione dell'autovalore di modulo massimo.

 


Nel caso generale, è simmetrica e quindi .

Per determinare dove si trovano gli autovalori di li localizzo con i cerchi di Gerschgorin.
Quindi , , quindi
Nel caso :
Passo del metodo delle potenze:

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