Esercizio 9.26
Data la funzione
![{\displaystyle f(x)=\cos(\pi /2x),x\in [0,3]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b1e04bad7fabb8cbb1aeb8cb4ec4e69d805ebd3a)
costruire il polinomio di grado 3

che interpola

nei nodi

. Calcolare l'errore di interpolazione nel punto

e fornire una maggiorazione dell'errore
![{\displaystyle \max _{x\in [0,3]}|f(x)-p_{3}(x)|}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3e14869aaca42e43e375381131557b0ec150683e)
.
I nodi sono
. Cerco il polinomio interpolante con l'algoritmo alla Neville:





L'errore di interpolazione nel punto

è





Una maggiorazione dell'erore è data da:
![{\displaystyle |P_{3}(x)-f(x)|\leq {\frac {f^{(4)}(\xi )}{4!}}*w_{4}(x),\,\xi \in [0,3]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/26796aefa2e54f2b980348f8192a2f551645c0fe)



e questa funzione è crescente e assume il suo massimo in

, quindi ottengo:
![{\displaystyle \max _{x\in [0,3]}|f(x)-P_{3}(x)|\leq 36|}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6791e0b58faec4fca1524ee8222244fa17f959b3)
Esercizio 9.27
Data una funzione
con
, si costruisca l'unico polinomio di grado 2,
che soddisfa le condizioni:
,
,
. Si calcolino poi i coefficienti
della formula di quadratura

ottenuta mediante il calcolo esatto del seguente integrale definito:

Devo determinare i coefficienti
del polinomio
che soddisfa le condizioni date:



Quindi si ha

, e il polinomio si scrive come:



![{\displaystyle [(f(1)-f(0)-f'(0))x^{3}/3+f'(0)x^{2}/2+f(0)x]_{0}^{1}=}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/418c05c8a48e23f5081f84cd73309a5fa086c001)



Quindi

Esercizio 9.28
Data la matrice
di dimensione
, con
:

fornire una maggiorazione per

al variare di

. Nel caso particolare

,
posto

, applicare un passo del metodo delle potenze per fornire un'approssimazione

dell'autovalore di modulo massimo.
Nel caso generale,
è simmetrica e quindi
.



Per determinare dove si trovano gli autovalori di

li localizzo con i cerchi di Gerschgorin.



Quindi

,

, quindi

Nel caso

:

Passo del metodo delle potenze:


