Tema 5

Esercizio 9.22

Analizzare al variare di l'esistenza di soluzioni dell'equazione

Posto , studiare la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo iterativo
al variare di . Qual è l'ordine di convergenza?

 

Per , studio la funzione . Questa funzione è sempre positiva, passa per il punto e per . La derivata p

che è sempre positiva, quindi la funzione è crescente.


Esercizio 9.23

Assegnati i nodi , e la funzione : determinare il polinomio che interpola la funzione nei nodi. Dare una maggiorazione dell'errore che si commette sostituendo ad il polinomio per . Approssimare

tramite
e calcolare l'errore commesso.

 

Determino il polinomio in due forme:

  1. attraverso i polinomi di Lagrange:
  2. con polinomi di Newton:

L'errore riscontrato con la formula di quadratura è:


Esercizio 9.24

Data la matrice:

:

  1. studiare in funzione di la convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, applicati al sistema lineare , .
  2. Per i valori di per cui entrambi i metodi convergono, si dica quale dei due converge più velocemente.
 

Autovalori della matrice di iterazione di Jacobi:

Condizioni di esistenza:
Per la convergenza:
Quindi il metodo di Jacobi converge per , e .


Autovalori della matrice di iterazione di Gauss-Seidel:

quindi il metodo di Gauss-Seidel converge se e solo se , cioè , e .


L'intervallo in cui entrambi i metodi convergono è . Per quanto riguarda la velocità di convergenza, il metodo di Jacobi converge più velocemente di quello di Gauss-Seidel se

ma questa condizione non è mai verificata per , quindi Gauss-Seidel converge più velocemente di Jacobi.


Esercizio 9.25

Data la matrice

co , per i valori di per cui è non singolare:

  1. calcolare
  2. determinare e e
  3. determinare il valore di per cui è minimo.
 

quindi è non singolare per .
Quindi
Quindi cresce all'aumentare di .

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