Tema 5

Esercizio 9.22

Analizzare al variare di $k\in \mathbb {R}$$k\in \mathbb {R}$ l'esistenza di soluzioni dell'equazione

$$g(x):k-e^{-x}=x$$

$$g(x):k-e^{-x}=x$$

Posto $k>1$$k>1$, studiare la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo iterativo

$$x_{n+1}=g(x_{n}),\quad n\geq 0$$

$$x_{n+1}=g(x_{n}),\quad n\geq 0$$

al variare di $x_{0}\in \mathbb {R}$$x_{0}\in \mathbb {R}$. Qual è l'ordine di convergenza?

 

Per $k>1$$k>1$, studio la funzione $y=k-e^{-x}$$y=k-e^{-x}$. Questa funzione è sempre positiva, passa per il punto $(0,k-1)$$(0,k-1)$ e per $(\log 1/k,0)$$(\log 1/k,0)$. La derivata p

$$f'=e^{-x}$$

$$f'=e^{-x}$$

che è sempre positiva, quindi la funzione è crescente.

Esercizio 9.23

Assegnati i nodi $x_{0}=0,x_{1}=0.5,x_{2}=1$$x_{0}=0,x_{1}=0.5,x_{2}=1$, e la funzione $f(x)=1/(x+1)$$f(x)=1/(x+1)$: determinare il polinomio $p(x)$$p(x)$ che interpola la funzione $f(x)$$f(x)$ nei nodi. Dare una maggiorazione dell'errore che si commette sostituendo ad $f$$f$ il polinomio $p$$p$ per $x\in [0,1]$$x\in [0,1]$. Approssimare

$$\int _{0}^{1}f(x)\,dx$$

$$\int _{0}^{1}f(x)\,dx$$

tramite

$$\int _{0}^{1}p(x)\,dx$$

$$\int _{0}^{1}p(x)\,dx$$

e calcolare l'errore commesso.

 

$$f(0)=1,\,f(0.5)=1/(1+1/2)=2/3,\,f(1)=1/2$$

$$f(0)=1,\,f(0.5)=1/(1+1/2)=2/3,\,f(1)=1/2$$

$$P_{1}(0,1),P_{2}(1/2,2/3),P_{3}(1,1/2)$$

$$P_{1}(0,1),P_{2}(1/2,2/3),P_{3}(1,1/2)$$

Determino il polinomio in due forme:

1. attraverso i polinomi di Lagrange:
   $$P(x)=1*L_{0}+2/3*L_{1}+1/2*L_{2}$$

   $$P(x)=1*L_{0}+2/3*L_{1}+1/2*L_{2}$$
   $$=1*{\frac {(x-1/2)(x-1)}{1/2}}+2/3*{\frac {x(x-1)}{(1/2-0)*(1/2-1)}}+1/2{\frac {x*(x-1/2)}{1/2}}$$

   $$=1*{\frac {(x-1/2)(x-1)}{1/2}}+2/3*{\frac {x(x-1)}{(1/2-0)*(1/2-1)}}+1/2{\frac {x*(x-1/2)}{1/2}}$$
   $$=2(x^{2}-3/2x+1/2)-8/3*(x^{2}-x)+(x^{2}-1/2x)$$

   $$=2(x^{2}-3/2x+1/2)-8/3*(x^{2}-x)+(x^{2}-1/2x)$$
   $$=2x^{2}-3x+1-8/3*x^{2}+8/3x+x^{2}-1/2x$$

   $$=2x^{2}-3x+1-8/3*x^{2}+8/3x+x^{2}-1/2x$$
   $$=1/3x^{2}-5/6x+1$$

   $$=1/3x^{2}-5/6x+1$$
2. con polinomi di Newton:
   $${\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1/2&2/3&-2/3&0\\1&1/2&-1/3&1/3\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1/2&2/3&-2/3&0\\1&1/2&-1/3&1/3\end{array}}$$
   $$p(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]*(x-x_{0})(x-x_{1})$$

   $$p(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]*(x-x_{0})(x-x_{1})$$
   $$=1-2/3x+1/3x(x-1/2)$$

   $$=1-2/3x+1/3x(x-1/2)$$
   $$=1-2/3x+1/3x^{2}-1/6x$$

   $$=1-2/3x+1/3x^{2}-1/6x$$
   $$=1/3x^{2}-5/6x+1$$

   $$=1/3x^{2}-5/6x+1$$

$$E_{r}=|f(x)-p(x)|={\frac {f^{(3)}(\xi )}{3!}}*w_{n+1}(x),\xi \in [0,1]$$

$$E_{r}=|f(x)-p(x)|={\frac {f^{(3)}(\xi )}{3!}}*w_{n+1}(x),\xi \in [0,1]$$

$$f'(x)=-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}$$

$$f'(x)=-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}$$

$$f''(x)={\frac {2}{(x+1)^{3}}}$$

$$f''(x)={\frac {2}{(x+1)^{3}}}$$

$$f^{(3)}(x)=-{\frac {6}{(x+1)^{4}}}$$

$$f^{(3)}(x)=-{\frac {6}{(x+1)^{4}}}$$

$$E_{r}={\frac {1}{3!}}*{\frac {-6}{(\xi +1)^{4}}}*x*(x-1/2)(x-1)$$

$$E_{r}={\frac {1}{3!}}*{\frac {-6}{(\xi +1)^{4}}}*x*(x-1/2)(x-1)$$

$$=-{\frac {1}{(1+x)^{4}}}(x^{3}-3/2x^{2}+x/2)$$

$$=-{\frac {1}{(1+x)^{4}}}(x^{3}-3/2x^{2}+x/2)$$

$$\leq (x^{3}-3/2x^{2}+x/2)$$

$$\leq (x^{3}-3/2x^{2}+x/2)$$

L'errore riscontrato con la formula di quadratura è:

$$x_{\ast }-x$$

$$x_{\ast }-x$$

$$x=\int _{0}^{1}1/3x^{2}-5/6x+1\,dx=$$

$$x=\int _{0}^{1}1/3x^{2}-5/6x+1\,dx=$$

$$=[1/9x^{3}-5/12x^{2}+x]_{0}^{1}={\frac {8-30+12}{72}}={\frac {5}{36}}$$

$$=[1/9x^{3}-5/12x^{2}+x]_{0}^{1}={\frac {8-30+12}{72}}={\frac {5}{36}}$$

$$x_{\ast }=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,dx=[\log(1+x]_{0}^{1}=\log 2$$

$$x_{\ast }=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,dx=[\log(1+x]_{0}^{1}=\log 2$$

Esercizio 9.24

Data la matrice:

$$A={\begin{array}{ccc}1&a&-a\\1&1&1\\a&a&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}1&a&-a\\1&1&1\\a&a&1\end{array}}$$

$a>0$$a>0$:

1. studiare in funzione di $a$$a$ la convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, applicati al sistema lineare $A{\boldsymbol {x}}=f$$A{\boldsymbol {x}}=f$, $f\in \mathbb {R} ^{3}$$f\in \mathbb {R} ^{3}$.
2. Per i valori di $a$$a$ per cui entrambi i metodi convergono, si dica quale dei due converge più velocemente.

 

Autovalori della matrice di iterazione di Jacobi:

$$A-\lambda D={\begin{array}{ccc}-\lambda &a&-a\\1&-\lambda &1\\a&a&-\lambda \end{array}}$$

$$A-\lambda D={\begin{array}{ccc}-\lambda &a&-a\\1&-\lambda &1\\a&a&-\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (1,-\lambda ,1)\times (a,a,-\lambda )=$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (1,-\lambda ,1)\times (a,a,-\lambda )=$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (\lambda ^{2}-a,\lambda +a,a+\lambda a)$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (\lambda ^{2}-a,\lambda +a,a+\lambda a)$$

$$p_{\lambda }=-\lambda *(\lambda ^{2}-a)+a(\lambda +a)-a(a+\lambda a)=0$$

$$p_{\lambda }=-\lambda *(\lambda ^{2}-a)+a(\lambda +a)-a(a+\lambda a)=0$$

$$p_{\lambda }=-\lambda ^{3}+a\lambda +a\lambda +a^{2}-a^{2}-\lambda a^{2}=0$$

$$p_{\lambda }=-\lambda ^{3}+a\lambda +a\lambda +a^{2}-a^{2}-\lambda a^{2}=0$$

$$p_{\lambda }=-\lambda ^{3}+(2a-a^{2})\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=-\lambda ^{3}+(2a-a^{2})\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda ^{2}=2a-a^{2}$$

$$\lambda ^{2}=2a-a^{2}$$

$$\lambda =\pm {\sqrt {2a-a^{2}}}$$

$$\lambda =\pm {\sqrt {2a-a^{2}}}$$

Condizioni di esistenza:

$$2a-a^{2}\geq 0$$

$$2a-a^{2}\geq 0$$

$$a^{2}-2a\leq 0,\,\longrightarrow \,0<a<2$$

$$a^{2}-2a\leq 0,\,\longrightarrow \,0<a<2$$

Per la convergenza:

$$2a-a^{2}<1$$

$$2a-a^{2}<1$$

$$2a-a^{2}-1<0$$

$$2a-a^{2}-1<0$$

$$a^{2}-2a+1>0,$$

$$a^{2}-2a+1>0,$$

$$(a-1)>0\,\longrightarrow a\neq 1$$

$$(a-1)>0\,\longrightarrow a\neq 1$$

Quindi il metodo di Jacobi converge per $0<a<2,\,a\neq 1$$0<a<2,\,a\neq 1$, e $\rho (P_{j})={\sqrt {2a-a^{2}}}$$\rho (P_{j})={\sqrt {2a-a^{2}}}$.

Autovalori della matrice di iterazione di Gauss-Seidel:

$$A-\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}-\lambda &a&-a\\-\lambda &-\lambda &1\\-a\lambda &-a\lambda &-\lambda \end{array}}$$

$$A-\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}-\lambda &a&-a\\-\lambda &-\lambda &1\\-a\lambda &-a\lambda &-\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (-\lambda ,-\lambda ,1)\times (-a\lambda ,-a\lambda ,-\lambda )=0$$

$$p_{\lambda }=(-\lambda ,a,-a)\cdot (-\lambda ,-\lambda ,1)\times (-a\lambda ,-a\lambda ,-\lambda )=0$$

$$(-\lambda ,a,-a)\cdot (\lambda ^{2}+a\lambda ,-\lambda ^{2}-a\lambda ,0)=0$$

$$(-\lambda ,a,-a)\cdot (\lambda ^{2}+a\lambda ,-\lambda ^{2}-a\lambda ,0)=0$$

$$-\lambda ^{3}-a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda =0$$

$$-\lambda ^{3}-a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda =0$$

$$-\lambda ^{3}-2a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda =0$$

$$-\lambda ^{3}-2a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda ^{2}+2a\lambda +a^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}+2a\lambda +a^{2}=0$$

$$(\lambda +a)^{2}=0$$

$$(\lambda +a)^{2}=0$$

$$\lambda _{2,3}=\pm a$$

$$\lambda _{2,3}=\pm a$$

quindi il metodo di Gauss-Seidel converge se e solo se $|a|<1$$|a|<1$, cioè $-1<a<1$$-1<a<1$, e $\rho (P_{g})=a$$\rho (P_{g})=a$.

L'intervallo in cui entrambi i metodi convergono è $a\in (0,1)$$a\in (0,1)$. Per quanto riguarda la velocità di convergenza, il metodo di Jacobi converge più velocemente di quello di Gauss-Seidel se

$${\sqrt {2a-a^{2}}}<a$$

$${\sqrt {2a-a^{2}}}<a$$

$$2a-a^{2}<a^{2}$$

$$2a-a^{2}<a^{2}$$

$$2a-2a^{2}<0$$

$$2a-2a^{2}<0$$

$$a^{2}-a>0$$

$$a^{2}-a>0$$

ma questa condizione non è mai verificata per $a\in (0,1)$$a\in (0,1)$, quindi Gauss-Seidel converge più velocemente di Jacobi.

Esercizio 9.25

Data la matrice

$$A={\begin{array}{cc}1&0\\-1&a\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{cc}1&0\\-1&a\end{array}}$$

co $a>0$$a>0$, per i valori di $a$$a$ per cui $A$$A$ è non singolare:

1. calcolare $A^{-1}$$A^{-1}$
2. determinare $|A|_{\infty }$$|A|_{\infty }$ e $|A^{-1}|_{\infty }$$|A^{-1}|_{\infty }$ e $K_{\infty }(A)$$K_{\infty }(A)$
3. determinare il valore di $a$$a$ per cui $K^{\infty }(A)$$K^{\infty }(A)$ è minimo.

 

$$\det A=a\neq 0$$

$$\det A=a\neq 0$$

quindi $A$$A$ è non singolare per $a>0$$a>0$.

$$A^{-1}=1/a{\begin{array}{cc}a&0\\1&1\end{array}}$$

$$A^{-1}=1/a{\begin{array}{cc}a&0\\1&1\end{array}}$$

$$A^{-1}={\begin{array}{cc}1&0\\1/a&1/a\end{array}}$$

$$A^{-1}={\begin{array}{cc}1&0\\1/a&1/a\end{array}}$$

$$|A|_{\infty }=\max _{i}\{\sum _{j=1}^{2}A_{ij}\}=\max _{i}\{1,a+1\}=a+1$$

$$|A|_{\infty }=\max _{i}\{\sum _{j=1}^{2}A_{ij}\}=\max _{i}\{1,a+1\}=a+1$$

$$|A^{-1}|_{\infty }=\max _{i}\{1,2/a\}$$

$$|A^{-1}|_{\infty }=\max _{i}\{1,2/a\}$$

$$|A^{-1}|^{\infty }={\begin{cases}2/a&\iff a<2\\1&\iff a>2\end{cases}}$$

$$|A^{-1}|^{\infty }={\begin{cases}2/a&\iff a<2\\1&\iff a>2\end{cases}}$$

Quindi

$$K^{\infty }(A)=\vert A\vert *\vert A^{-1}\vert =$$

$$K^{\infty }(A)=\vert A\vert *\vert A^{-1}\vert =$$

$${\begin{cases}2/a(a+1)&\iff 0<a<2\\a+1&\iff a>2\end{cases}}$$

$${\begin{cases}2/a(a+1)&\iff 0<a<2\\a+1&\iff a>2\end{cases}}$$

Quindi $K_{\infty }(A)$$K_{\infty }(A)$ cresce all'aumentare di $a$$a$.