Tema 4

Esercizio 9.17

E' dato il problema di punto fisso

assegnato. Si dica quali sono i punti fissi e si studi la convergenza delle iterate. In particolare si indichi a quale dei punti fissi converge la successione degli in funzione del punto iniziale , inoltre si indichi qual è l'ordine di convergenza ai punti fissi.

 


Risolvendo graficamente l'equazione , si trovano tre punti fissi: , , .

  1. Per si ha , ho una successione monotona crescente che converge alla radice .
  2. per , si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte positive e il metodo converge alla radice .
  3. per si ha , la successione è monotona decrescente e converge alla radice .
  4. per si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte negative e il metodo converge alla radice .

In generale

Per quanto riguarda l'ordine di convergenza:

  1. Per
    e l'ordine di convergenza è 1.
  2. per
    e l'ordine di convergenza è 2.


Esercizio 9.18

Determinare la spline di grado 1 interpolante il polinomio

nei punti . Stimare il massimo errore che si commette sull'intervallo .

 

Voglio determinare i coefficienti tali che la spline sia costruita nel seguente modo:
Impongo le condizioni di interpolazione.
Imponendo anche la condizione di raccordo con continuità nel nodo , devo aggiungere la condizione .
Quindi
Cerco il massimo dell'errore:
Le funzioni sono due parabole rivolte verso il basso e ne cerco i massimi.
Ora studio
Quindi il massimo errore su è .


Esercizio 9.19

E' dato il sistema lineare

con parametro reale e termine noto assegnato, trovare:

  1. il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Jacobi applicato al sistema lineare.
  2. il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Gauss-seidel applicato al sistema lineare.
  3. per quali valori di il metodo di Gauss-seidel converge.
 

La matrice è tridiagonale, e il raggio spettrale del metodo di Gauss-Seidel è il quadrato di quello di Jacobi. Per trovare gli autovalori della matrice di iterazione di Jacobi studio

Quindi
e affinché il metodo di Gauss-Seidel converga si deve avere , quindi , e unendo alla condizione di esistenza si ha .


Esercizio 9.20

Studiare il condizionamento della funzione

e determinare i valori di per i quali il calcolo della funzione è mal condizionato nel senso che il numero di condizionamento è superiore a .

 


Data una funzione , immagino di calcolarla in un punto , e pongo . Calcolando l'errore relativo ottengo:

e sviluppando ottengo
e moltiplicando e dividendo per :
con errore relativo sui dati e . In questo caso


Esercizio 9.21

Determinare in modo che la formula di quadratura

abbia grado di precisone massimo, e applicare la formula ottenuta al calcolo dell'integrale definito
commentare i risultati ottenuti.

 

Imponendo grado di precisione 0:

Imponendo grado di precisione 1:
quindi .


Imponendo grado di precisione 2:

Quindi
e la formula di quadratura diventa:
Quindi

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