Tema 3

Esercizio 9.12

Sia

studiare la convergenza del metodo iterativo
al variare di . Qual è l'ordine di convergenza?

 


Studio la funzione :


La funzione non interseca l'asse x, mentre interseca l'asse in . Le intersezioni tra la funzione e la bisettrice sono:


Per , non ce ne sono. Per , se

quindi il punto di intersezione è .


Convergenza:

  1. per si ha e ho una successione monotona crescente limitata da .
  2. per si ha e la successione è monotona decrescente limitata da .

Per quanto riguarda la convergenza:

e la derivata non si annulla in , quindi l'ordine di convergenza è 1.


Esercizio 9.13

Sia

calcolare il polinomio dei minimi quadrati discreti di grado 1, relativo ai nodi . e verificare che passa per il punto di coordinate dove

 

Il polinomio ai minimi quadrati approssimante questa funzione ha coefficienti che risolvono il sistema:
con .
e considerando la base canonica:
Quindi ottengo il sistema:
Quindi la retta ai minimi quadrati è
Verifico se passa per il punto :
Se ,
quindi la retta passa per il punto .


Esercizio 9.14

Sia , , . Si consideri la formula di quadratura

trovare in funzione di in modo che la formula considerata abbia grado di precisione .

 
  1. impongo che la formula abbia grado di precisione 0.
  2. Impongo il grado di precisione 1:
  3. impongo il grado di precisione 2

Risolvo il sistema:

Sottraggo la seconda e a terza equazione membro a membro:


Esercizio 9.15

Diostrare la stima asintotica dell'errore associata alla formula di quadratura dei trapezi compositi.

 
Esercizio 9.16

Si consideri il sistema lineare con

studiare in funzione di la convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Quale dei due metodi ha convergenza più rapida? Giustificare la risposta. Sia , , si supponga di applicare 20 iterazioni del metodo di Jacobi. Dare una stima dell'errore relativo.

 


è tridiagonale, quindi si ha . Per calcolare gli autovalori della matrice di iterazione del metodo di Jacobi, considero:

I due metodi convergono se , inoltre il metodo di Gauss-Seidel ha una velocità di convergenza doppia rispetto a quella del metodo di Jacobi, infatti, definendo il tasso asintotico come , si ha:

Ponendo , si ha

e per , gli autovalori della matrice di iterazione sono:
quindi e una stima dell'errore è:

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