Tema 2

Esercizio 9.6

Studiare convergenza e ordine del metodo iterativo

per la soluzione dell'equazione
Proporre e giustificare la scelta di un opportuno test di arresto.

 


Le radici dell'equazione sono . Pongo

e studio la funzione:

  1. Intersezioni con la bisettrice:
  2. Intersezioni con gli assi: la funzione non si annulla mai, e si ha
  3. Derivata prima:
    La funzione è crescente per e , mentre decresce negli intervalli e .
  4. derivata seconda
    e la derivata seconda è positiva per e negativa per , quindi la funzione è concava per e convessa per .


La funzione tende a per , cresce fino a stando sopra la bisettrice. decresce tra , tende a per , tende a per , decresce per , cresce per stando sotto alla bisettrice.


Quindi per quanto riguarda la convergenza le metodo di punto fisso si ha:

  1. per si ha , ho una successione monotona crescente che converge a .
  2. per , si ha una convergenza alternata sta alternativamente a destra o a sinistra della radice .
  3. per , si ha convergenza alternata alla radice
  4. per , , ho una successione monotona decrescente che converge a .

Quindi il metodo converge per ogni scelta di .


Per quanto riguarda l'ordine di convergenza, osservo che:

quindi l'ordine del metodo è 2.


Come test d'arresto propongo il test dell'incremento , infatti questo test è affidabile se, scelto in un intorno della radice, , e questa condizione è soddisfatta in questo caso.


Esercizio 9.7

Discutere la convergenza del metodo di Gauss-Seidel per la risoluzione del sistema lineare

con

 

La matrice è tridiagonale a banda, inoltre è diagonalmente dominante per righe in senso stretto, perché vale che

quindi vale la condizione sufficiente per la convergenza del metodo di Gauss-Seidel.


Esercizio 9.8

Analisi dell'errore e condizionamento nella risoluzione dei sistemi lineari.

 


Esercizio 9.9

Sia una funzione continua sull'intervallo e sia un polinomio intepolatore lineare di nei nodi

Costruire la formula di quadratura utilizzando .

 

Il polinomio interpolante in forma di Lagrange nei nodi si scrive come:

dove sono i polinomi di Lagrange, e in particolare si ha
La formula di quadratura che si ottiene è


Esercizio 9.10

Si consideri l'integrale

e si valuti il numero minimo di intervalli necessari per calcolare con un errore assoluto , utilizzando la formula dei trapezi composita.

 


Nella formula dei trapezi composita l'errore è dato da:

Allora pongo , e
quindi


Esercizio 9.11

Trovare la retta dei minimi quadrati continui relativa alla base dei monomi

per la funzione .

 

Devo risolvere il sistema

dove
Ponendo :
Quindi risolvo il sistema
e la retta ai minimi quadrati è data da .

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