Tema 11

Esercizio 9.42

Sia data la funzione $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita a tratti

$$g(x)={\begin{cases}x^{3/2}+x/2&x\geq 0\\1/9-(x+1/3)^{2}&x<0\end{cases}}$$

$$g(x)={\begin{cases}x^{3/2}+x/2&x\geq 0\\1/9-(x+1/3)^{2}&x<0\end{cases}}$$

e il metodo di punto fisso

$$x_{k+1}=g(x_{k})$$

$$x_{k+1}=g(x_{k})$$

con $x_{0}$$x_0$ assegnato.

1. Si studi graficamente la convergenza del metodo al variare del punto $x_{0}\in \mathbb {R}$$x_{0}\in \mathbb {R}$ indicando, eventualmente, anche l'ordine di convergenza.
2. Si calcoli il condizionamento $K(x)$$K(x)$ della funzione $g$$g$ per i valori positivi di $x$$x$. Si mostri che tale numero di condizionamento è compreso in un intervallo $[a,b]$$[a,b]$ indicandone i valori.

 

Studio della funzione $g$$g$:

1. Limiti: per $x\to +\infty$$x \to +\infty$, $g\to +\infty$$g\to +\infty$, mentre per $x\to -\infty$$x \to -\infty$, $g\to -\infty$$g\to -\infty$.
2. Intersezioni con gli assi: La funzione passa per il punto $(0,0)$$(0,0)$ e si raccorda con continuità nell'origine.Per $x$$x$ positivi:
   $$x^{3/2}+x/2=0$$

   $$x^{3/2}+x/2=0$$
   $$x*(x^{1/2}+1/2)=0$$

   $$x*(x^{1/2}+1/2)=0$$
   $$x^{1/2}=-1/2,\,{\hbox{non ha soluzione}}$$

   $$x^{1/2}=-1/2,\,{\hbox{non ha soluzione}}$$
   Per $x$$x$ negativi:
   $$1/9-(x+1/3)^{2}=0$$

   $$1/9-(x+1/3)^{2}=0$$
   $$1/9-x^{2}-2/3x-1/9=0$$

   $$1/9-x^{2}-2/3x-1/9=0$$
   $$x^{2}+2/3x=0$$

   $$x^{2}+2/3x=0$$
   $$x=0,\,x=-2/3$$

   $$x=0,\,x=-2/3$$
   quindi la funzione passa anche per il punto $(-2/3,0)$$(-2/3,0)$.
3. Intersezioni con la bisettrice: $P_{1}=(0,0)$$P_{1}=(0,0)$ è un punto fisso.Per $x$$x$ positive
   $$x^{3/2}+x/2=x$$

   $$x^{3/2}+x/2=x$$
   $$x^{3/2}-x/2=0$$

   $$x^{3/2}-x/2=0$$
   $$x(x^{1/2}-1/2)=0$$

   $$x(x^{1/2}-1/2)=0$$
   $$x^{1/2}=1/2$$

   $$x^{1/2}=1/2$$
   $$x=1/4$$

   $$x=1/4$$
   $P_{2}=(1/4,1/4)$$P_{2}=(1/4,1/4)$ è un altro punto fisso.Per $x$$x$ negative:
   $$-2/3x-x^{2}=x$$

   $$-2/3x-x^{2}=x$$
   $$2/3x+x^{2}=-x$$

   $$2/3x+x^{2}=-x$$
   $$5/3x+x^{2}=0$$

   $$5/3x+x^{2}=0$$
   $$x=0,\,x=-5/3$$

   $$x=0,\,x=-5/3$$
   Ottengo anche il punto fisso $P_{3}=(-5/3,-5/3)$$P_{3}=(-5/3,-5/3)$.
4. Monotonia e concavità:Per $x$$x$ positive:
   $$f'(x)=3/2*x^{1/2}+1/2>0$$

   $$f'(x)=3/2*x^{1/2}+1/2>0$$
   $$3x^{1/2}>-1,\,\forall x\in \mathbb {R}$$

   $$3x^{1/2}>-1,\,\forall x\in \mathbb {R}$$
   quindi la funzione è sempre crescente.
   $$f''(x)=3/4*x^{-1/2}>0\iff x>0$$

   $$f''(x)=3/4*x^{-1/2}>0\iff x>0$$
   quindi la funzione è convessa per $x$$x$ positive.Per $x$$x$ negative:
   $$g=-x^{2}-2/3x$$

   $$g=-x^{2}-2/3x$$
   $$f'(x)=-2*(x+1/3)>0$$

   $$f'(x)=-2*(x+1/3)>0$$
   $$x+1/3<0$$

   $$x+1/3<0$$
   $$x<-1/3$$

   $$x<-1/3$$
   Quindi la funzione è crescente per $x<-1/3$$x<-1/3$.
   $$g''=-2<0$$

   $$g''=-2<0$$
   allora la funzione è sempre concava.

Convergenza del metodo di punto fisso:

1. per $x_{0}<-5/3$$x_{0}<-5/3$, ho una successione di iterate decrescente e illimitata.
2. per $-5/3<x_{0}<0$$-5/3<x_{0}<0$, la funzione converge a $x=0$$x=0$.
   $$f'(x)=-2*(x+1/3),\,\longrightarrow \,f'(0)=-2/3<1$$

   $$f'(x)=-2*(x+1/3),\,\longrightarrow \,f'(0)=-2/3<1$$
   e il metodo ha ordine di convergenza 1, dopo un numero finito di passi si ha $0<x_{k}<1/4$$0<x_{k}<1/4$, perché l'ordinata del vertice della parabola è minore dell'ordinata del punto fisso $x_{k}=1/3$$x_{k}=1/3$.
3. per $0<x_{0}<1/4$$0<x_{0}<1/4$ ho una successione decrescente di iterate che converge a $P_{1}=(0,0)$$P_{1}=(0,0)$.
   $$g'(x)=3/2*x^{1/2}+1/2,\,\longrightarrow \,g'(0)=1/2\neq 0$$

   $$g'(x)=3/2*x^{1/2}+1/2,\,\longrightarrow \,g'(0)=1/2\neq 0$$
   quindi l'ordine di convergenza è 1.
4. Per $x_{0}>1/4$$x_{0}>1/4$, la successione di iterate diverge.

Condizionamento di $g$$g$ per $x$$x$ positive:

$$K(g)={\frac {x}{|f(x)|}}*f'(x)$$

$$K(g)={\frac {x}{|f(x)|}}*f'(x)$$

$$K(g)={\frac {x}{x^{3/2}+x/2}}*(3/2*x^{1/2}+1/2)$$

$$K(g)={\frac {x}{x^{3/2}+x/2}}*(3/2*x^{1/2}+1/2)$$

$$K(g)={\frac {x(3/2*x^{1/2}+1/2)}{x^{3/2}+x/2}}$$

$$K(g)={\frac {x(3/2*x^{1/2}+1/2)}{x^{3/2}+x/2}}$$

Semplificando per $x$$x$:

$$K(g)={\frac {3/2*x^{1/2}+1/2}{x^{1/2}+1/2}}$$

$$K(g)={\frac {3/2*x^{1/2}+1/2}{x^{1/2}+1/2}}$$

$$K(g)=1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}$$

$$K(g)=1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}$$

$$K'(g)(x)={\frac {(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})}{(x^{1/2}+1/2)^{2}}}$$

$$K'(g)(x)={\frac {(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})}{(x^{1/2}+1/2)^{2}}}$$

$$K'(g)(x)\geq 0$$

$$K'(g)(x)\geq 0$$

$$(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})\geq 0$$

$$(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})\geq 0$$

$$1/4x+1/8*x^{-1/2}-1/4*x\geq 0$$

$$1/4x+1/8*x^{-1/2}-1/4*x\geq 0$$

$$x^{-1/2}\geq 0\forall x>0$$

$$x^{-1/2}\geq 0\forall x>0$$

quindi $K(g)$$K(g)$ è sempre crescente.

$$\lim _{x\to 0}K(g)=\lim _{x\to 0}1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}=1$$

$$\lim _{x\to 0}K(g)=\lim _{x\to 0}1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}=1$$

$$\lim _{x\to +\infty }1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}=3/2$$

$$\lim _{x\to +\infty }1+{\frac {1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}}=3/2$$

quindi $K(g)\in (1,3/2)$$K(g)\in (1,3/2)$.

Esercizio 9.43

Dato il sistema $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3}$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3}$ e

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&a\\0&a&0\\a&0&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}1&0&a\\0&a&0\\a&0&1\end{array}}$$

$\alpha \neq 0$$\alpha \neq 0$,

1. calcolare $|A|_{2}$$|A|_{2}$ e traciarne il grafico al variare di $a$$a$.
2. indicare per quali valori di $a$$a$ il metodo di Jacobi è convergente.
3. Indicare per quali valori di $a$$a$ il metodo di Gauss-Seidel è convergente.
4. Calcolare la fattorizzazione $LU$$LU$ della matrice $A$$A$ e le quantità $|L|_{\infty }$$|L|_{\infty }$ e $|U|_{\infty }$$|U|_{\infty }$ al variare di $a$$a$.

 

Calcolo della norma di $A$$A$:

$$\vert A\vert _{2}=\rho (A^{t}A)^{1/2}={\sqrt {\max |\lambda (A^{t}A)|}}$$

$$\vert A\vert _{2}=\rho (A^{t}A)^{1/2}={\sqrt {\max |\lambda (A^{t}A)|}}$$

In questo caso $A$$A$ è simmetrica, quindi $A^{t}A=A^{2}$$A^{t}A=A^{2}$, $\lambda (A^{2})=(\lambda (A))^{2}$$\lambda (A^{2})=(\lambda (A))^{2}$, quindi

$$\vert A\vert _{2}=\max |\lambda (A)|$$

$$\vert A\vert _{2}=\max |\lambda (A)|$$

$$A-\lambda I={\begin{array}{ccc}1-\lambda &0&a\\0&a-\lambda &0\\a&0&1-\lambda \end{array}}$$

$$A-\lambda I={\begin{array}{ccc}1-\lambda &0&a\\0&a-\lambda &0\\a&0&1-\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=(1-\lambda )(1-\lambda )(a-\lambda )+a^{2}(\lambda -a)=0$$

$$p_{\lambda }=(1-\lambda )(1-\lambda )(a-\lambda )+a^{2}(\lambda -a)=0$$

$$p_{\lambda }=(\lambda -a)*[-(1-\lambda )^{2}+a^{2}]=0$$

$$p_{\lambda }=(\lambda -a)*[-(1-\lambda )^{2}+a^{2}]=0$$

$$p_{\lambda }=(\lambda -a)*[-1-\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}]=0$$

$$p_{\lambda }=(\lambda -a)*[-1-\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}]=0$$

$$\lambda _{1}=a$$

$$\lambda _{1}=a$$

$$-1-\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}=0$$

$$-1-\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}-2\lambda -a^{2}+1=0$$

$$\lambda ^{2}-2\lambda -a^{2}+1=0$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4(1-a^{2})}}}{2}}$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4(1-a^{2})}}}{2}}$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4+4a^{2}}}}{2}}$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4+4a^{2}}}}{2}}$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm 2a}{2}}=-1\pm a$$

$$\lambda _{1,2}={\frac {-2\pm 2a}{2}}=-1\pm a$$

$$|A|_{2}=\max |\lambda (A)|$$

$$|A|_{2}=\max |\lambda (A)|$$

$$|-1-a|>|a|\,\iff |-1-a|<-a\vee |-1-a|>a$$

$$|-1-a|>|a|\,\iff |-1-a|<-a\vee |-1-a|>a$$

$$|-1-a|<-a\,\longrightarrow \,a<-1-a<-a$$

$$|-1-a|<-a\,\longrightarrow \,a<-1-a<-a$$

$$-1-a<-a\iff -1<0\forall x$$

$$-1-a<-a\iff -1<0\forall x$$

$$a<-1-a\longrightarrow a<-1/2$$

$$a<-1-a\longrightarrow a<-1/2$$

$$|-1-a|>a\longrightarrow -1-a<-a\vee -1-a>a$$

$$|-1-a|>a\longrightarrow -1-a<-a\vee -1-a>a$$

$$-1-a>a\longrightarrow a<-1/2$$

$$-1-a>a\longrightarrow a<-1/2$$

Quindi $|-1-a|>|a|$$|-1-a|>|a|$ se $a<-1/2$$a<-1/2$.

$$|a-1|>|a|\iff |a-1|<-a\vee |a-1|>a$$

$$|a-1|>|a|\iff |a-1|<-a\vee |a-1|>a$$

$$|a-1|<-a\longrightarrow a<a-1<-a$$

$$|a-1|<-a\longrightarrow a<a-1<-a$$

$$a<a-1\longrightarrow 0<-1{\hbox{non ha soluzioni}}$$

$$a<a-1\longrightarrow 0<-1{\hbox{non ha soluzioni}}$$

$$|a-1|>a\iff a-1<-a\vee a-1>a$$

$$|a-1|>a\iff a-1<-a\vee a-1>a$$

$$a-1>a{\hbox{ non ha soluzioni}}$$

$$a-1>a{\hbox{ non ha soluzioni}}$$

$$a-1<-a\longrightarrow a<1/2$$

$$a-1<-a\longrightarrow a<1/2$$

quindi $|a|>|a-1|$$|a|>|a-1|$ per $a<1/2$$a<1/2$. In conclusione:

$$|A|_{2}={\begin{cases}|a-1|&\iff a<-1/2\\|a|&\iff -1/2<a<1/2\\|-a-1|&\iff a>1/2\end{cases}}$$

$$|A|_{2}={\begin{cases}|a-1|&\iff a<-1/2\\|a|&\iff -1/2<a<1/2\\|-a-1|&\iff a>1/2\end{cases}}$$

Convergenza del metodo di Jacobi:

$$A+D\lambda ={\begin{array}{ccc}\lambda &0&a\\0&\lambda a&0\\a&0&\lambda \end{array}}$$

$$A+D\lambda ={\begin{array}{ccc}\lambda &0&a\\0&\lambda a&0\\a&0&\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=\lambda *\lambda ^{2}*a-a(\lambda a^{2})$$

$$p_{\lambda }=\lambda *\lambda ^{2}*a-a(\lambda a^{2})$$

$$p_{\lambda }=a\lambda ^{3}-a^{2}\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=a\lambda ^{3}-a^{2}\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0,\,\lambda _{2}=\pm {\sqrt {a}}$$

$$\lambda _{1}=0,\,\lambda _{2}=\pm {\sqrt {a}}$$

quindi il metodo di Jacobi converge se $|a|<1$$|a|<1$.

Convergenza del metodo di Gauss-Seidel:

$$A+\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}\lambda &0&a\\0&a\lambda &0\\a\lambda &0&\lambda \end{array}}$$

$$A+\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}\lambda &0&a\\0&a\lambda &0\\a\lambda &0&\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=\lambda *a\lambda ^{2}-a^{3}\lambda ^{2}=0$$

$$p_{\lambda }=\lambda *a\lambda ^{2}-a^{3}\lambda ^{2}=0$$

$$\lambda _{1,2}=0$$

$$\lambda _{1,2}=0$$

$$\lambda _{3}=a^{2}$$

$$\lambda _{3}=a^{2}$$

quindi la condizione per la convergenza di Gauss-Seidel è ancora $|a|<1$$|a|<1$.

Eliminazione gaussiana:

Passo 1:

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-a&0&1\end{array}}$$

$$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-a&0&1\end{array}}$$

$$A_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&a\\0&a&0\\0&0&1-a^{2}\end{array}}$$

$$A_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&a\\0&a&0\\0&0&1-a^{2}\end{array}}$$

Quindi $A_{1}=U$$A_{1}=U$, mentre

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\a&0&1\end{array}}$$

$$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\a&0&1\end{array}}$$

Quindi

$$|L|^{\infty }=\max\{1,1+|a|\}=1+|a|$$

$$|L|^{\infty }=\max\{1,1+|a|\}=1+|a|$$

$$|U|^{\infty }=\max\{1+|a|,|a|,1+|a^{2}|\}$$

$$|U|^{\infty }=\max\{1+|a|,|a|,1+|a^{2}|\}$$

$$|U|^{\infty }={\begin{cases}|a|+1&\iff a<-1\vee a>1\\1+|a^{2}|&\iff -1<a<1\end{cases}}$$

$$|U|^{\infty }={\begin{cases}|a|+1&\iff a<-1\vee a>1\\1+|a^{2}|&\iff -1<a<1\end{cases}}$$