Tema 11

Esercizio 9.42

Sia data la funzione definita a tratti

e il metodo di punto fisso
con assegnato.

  1. Si studi graficamente la convergenza del metodo al variare del punto indicando, eventualmente, anche l'ordine di convergenza.
  2. Si calcoli il condizionamento della funzione per i valori positivi di . Si mostri che tale numero di condizionamento è compreso in un intervallo indicandone i valori.
 


Studio della funzione :

  1. Limiti: per , , mentre per , .
  2. Intersezioni con gli assi: La funzione passa per il punto e si raccorda con continuità nell'origine.Per positivi:
    Per negativi:
    quindi la funzione passa anche per il punto .
  3. Intersezioni con la bisettrice: è un punto fisso.Per positive
    è un altro punto fisso.Per negative:
    Ottengo anche il punto fisso .
  4. Monotonia e concavità:Per positive:
    quindi la funzione è sempre crescente.
    quindi la funzione è convessa per positive.Per negative:
    Quindi la funzione è crescente per .
    allora la funzione è sempre concava.


Convergenza del metodo di punto fisso:

  1. per , ho una successione di iterate decrescente e illimitata.
  2. per , la funzione converge a .
    e il metodo ha ordine di convergenza 1, dopo un numero finito di passi si ha , perché l'ordinata del vertice della parabola è minore dell'ordinata del punto fisso .
  3. per ho una successione decrescente di iterate che converge a .
    quindi l'ordine di convergenza è 1.
  4. Per , la successione di iterate diverge.


Condizionamento di per positive:

Semplificando per :
quindi è sempre crescente.
quindi .


Esercizio 9.43

Dato il sistema e

,

  1. calcolare e traciarne il grafico al variare di .
  2. indicare per quali valori di il metodo di Jacobi è convergente.
  3. Indicare per quali valori di il metodo di Gauss-Seidel è convergente.
  4. Calcolare la fattorizzazione della matrice e le quantità e al variare di .
 


Calcolo della norma di :

In questo caso è simmetrica, quindi , , quindi

Quindi se .

quindi per . In conclusione:

Convergenza del metodo di Jacobi:

quindi il metodo di Jacobi converge se .


Convergenza del metodo di Gauss-Seidel:

quindi la condizione per la convergenza di Gauss-Seidel è ancora .


Eliminazione gaussiana:


Passo 1:

Quindi , mentre
Quindi

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