Tema 10

Esercizio 9.39

Sia data la funzione con

calcolare le radici dell'equazione . Studiare infine l'ordine e la converenza del metodo iterativo

 


Ricerca dei punti fissi:

Studio la funzione
quindi la funzione non interseca l'asse x in altri punti.


Limiti: se mentre se .


Derivata prima

La derivata prima è sempre positiva tranne per che è un punto di minimo.
Allora la funzione è concava per e convessa per .


Convergenza:

  1. Per , , ho una successione decrescente e illimitata e non si ha convergenza.
  2. per ho una successione di iterate crescente che converge a .
  3. Per , , ho una successione di iterate decrescente che converge a .
  4. per , e ho una successione di iterate crescene e illimitata, non c'è convergenza.

Questo metodo di punto fisso serve per trovare gli zeri di . Provo ad applicare il metodo di Newton per trovare gli zeri di :

In questo caso si riesce ad ottenere la convergenza ad , infatti .


Esercizio 9.40

Sia data la funzione tale che

e siano assegnati i punti .

  1. Determinare il polinomio che interpola la funzione nei nodi .
  2. Determinare la retta che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati i punti , con .
 


Approssimazione con polinomi: i nodi sono:

Algoritmo alla Neville:
Polinomio interpolante:

Retta ai minimi quadrati:

Quindi ottengo il sistema
e la retta è


Esercizio 9.41

Sia data la matrice:

con .

  1. Studiare in funzione del parametro la convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss-seidel per il sistema lineare
  2. per i valori di per cui entrambi i metodi convergono si dica quale converge più velocemente.
 


Metodo di Jacobi: cerco gli autovalori della matrice di iterazione.

Il metodo converge se
Il metodo di Jacobi converge se
Prima equazione:
Unendo le varie condizioni ottenute:
Matrice di iterazione del metodo di Gauss-seidel:
e il metodo converge se .


I valori di per cui convergono entrambi i metodi sono , e in questo caso:

quindi il metodo di Gauss-Seidel converge più velocemente di quello di Jacobi.

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