Tema 1

Esercizio 9.1

Dimostrare che il metodo di Newton per la ricerca della radice semplice di un equazione non lineare è del secondo ordine, e fornire una condizione sulla scelta di .

 

Il metodo di Newton si può ridefinire come un metodo di punto fisso

Si ha che se per e , allora il metodo ha ordine di convergenza .
e valutando in , tenendo conto che :
quindi il metodo ha ordine di convergenza 2.

Esercizio 9.2

Data la matrice di dimensione :

Fornire una maggiorazione per al variare di .

 

Siccome , si ha . La matrice è tridiagonale a banda, ed è diagonalmente dominante sulle righe. Per determinare i suoi autovalori applico i teoremi di Gersch-gorin.

Gli autovalori stanno all'interno dei cerchi di Gerschgorin. Considerando il cerchio :
Considerando il cerchio :
Considero il cerchio :
Osservo che l'autovalore di modulo massimo sarà sicuramente minore di , e quello di modulo minimo è maggiore di , quindi

Esercizio 9.3

Considerare l'equazione non lineare

Dimostrare graficamente che l'equazione ha tre radici , , .

Dimostrare che il procedimento iterativo

converge alla radice per ogni scelta di .

 

Trovare le radici di equivale a trovare le intersezioni tra la retta e la funzione . Osservo che è sicuramente una radice, perché . Inoltre: se , si ha

e siccome e sono monotone crescenti in questo intervallo, l'intersezione deve stare per forza in , e qui si trova la radice . Vale un ragionamento analogo per , e in questo intervallo le funzioni sono monotone decrescenti.

Per quanto riguarda il metodo di punto fisso, pongo e osservo che:

  1. per , , si ha , ho una successione monotona crescente limitata da , e quindi si ha convergenza alla radice.
  2. per con , si ha , e si ha una successione monotona decrescente che converge a .
Esercizio 9.4

Dato il sistema lineare

con
, determinare per quali valori di e :

  1. è simmetrica e definita positiva;
  2. il metodo di Gauss-Seidel converge
  3. Se , stimare il numero di iterazioni necessarie del metodo di Gauss-Seidel affinché si abbia
 
  1. Affinché la matrice sia simmetrica dev'essere , . è definita positiva se vale il criterio di Sylvester:
    e questo avviene se .
  2. Calcolo gli autovalori della matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel.
    Per la convergenza impongo , quindi , e si ha:
  3. Nel caso , si ha che il metodo converge, infatti è soddisfata la condizione per la convergenza del metodo .Sappiamo che
    Inoltre
    quindi impongo
Esercizio 9.5

Dato l'integrale

e la formula di quadratura gaussiana determinare i pesi e i nodi in modo tale che il grado di precisione della formula sia massimo, utilizzare tale formula per approssimare

 

Si ottiene grado di precisione massimo con la formula dei trapezi, ponendo , .

Invece con la formula dei trapezi

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